最小二乘法曲线拟合

最小二乘法曲线拟合在温室效应中研究的应用朱兰兰(100401班，学号：100401127)【中文摘要】通过对人类使用煤炭和石油以来，即从1860到2010年温度增加值的分析，利用数字及计算定理中的最小二乘法进行曲线拟合，建立了地球平均值温度增加与时间之间的函数关系，得出2060年左右地球平均温度将比2010年增加3.8度左右，到时地球冰川将会融化，引起地球洪水泛滥，海平面上升，使得下游城市与农田无水可用，受影响最大的是美国加利福尼亚州、秘鲁、巴基斯坦与中国。欧洲、亚洲与美国受干旱、热浪之苦，农作物大面积受损，全球粮食供应出现危机。所以保护我们的地球刻不容缓。【关键词】温室效应；最小二乘法；曲线拟合0前言自从煤炭和石油等矿物燃料应用以来，地球大气中2CO含量不断增加，使地球的平均温度不断上升，从而引起诸如冰川融化、海平面上升等一系列严重的环境问题，导致了沙漠化加速、洪水泛滥等自然灾害的出现，这就是人们所公知的温室效应。（见表1）如果地球温度在2010年基础上继续上升的话，我们可以用最小二乘曲线拟合求出若干年后地球的温度增长情况和海平面上升情况，让我们知道地球的严峻形势。1算法原理给定数据（xi,fi)(i=1,2,3,...,m),为使逼近函数的构造简单，计算方便，并有良好的逼近性质，可采用最佳平方逼近的做法，即在集合Φ=Span{φ0,φ1,...φn}中找一个函数)(,)()(0**mnxaxSnkkk（1.1）其中误差是i=S＊(xi)-fi,(i=1,2,3,...m)（1.2）使S＊(x)满足21)(21*21])([)(min])([)(iimiixsmiiiimiifxSxfxSx（1.3）w(x)≧是[a,b]上给定的权函数，上述求逼近函数S*(x)的方法就成为曲线拟合的最小二乘法。满足关系式（1.2）的函数S*(x)称为上述最小二乘问题的最小二乘解。曲线拟合的最小二乘解实际上与前面介绍的函数平方逼近相当，只不过它是对离散的变量x1,x2,...xn来求解。为了求满足条件（1.2）的最小二乘解nnaaaxS*1*10*0*...)(就要求多元函数21110])()([)(),...,(miiikkmiinxfxaxaaaI的极小值点),...,,(**1*0naaa。由多元函数取极值的必要条件),...1,0(,0njIja可得0)()}()({)(01ijinkikkmiixxfxax若引入离散情况下函数的内积记号：),()()(),(),()(),(11ijimiijijkmiijkxxfxfxx则得到法方程：),...,2,1,0(),,(),(0njffajknkjk（1.4）它的未知源是n,...,,10，它的系数是的克莱姆行列式，记作G。由于线性相关，故G0，所以方程组（1.3）有唯一解),...,2,1,0(,*nkaakk，从而得到由式（1.1）表达的最小二乘解S*(x),它是存在且唯一的。由上述讨论可以得到如下结论：（1）对于给定的函数表nkkkxaxS0)()(*(i=0,1,2,...,m),在函数类Φ=Span{φ0,φ1,...φn}中存在唯一函数nkkkxaxS0)()(*使得关系式（1.3）成立。（2）最小二乘解的系数**1*0,...,,naaa可以通过解方程得到。作为曲线拟合的一种常用情况，如果讨论的是代数多项式拟合，即取},...,,,1{},...,,{210nnxxx那么相应的法方程（1.4）就是：fxfxfaaaaxxxxxxxxniiiiiiiniiniiniiniiiiiiniiiii32102112.........（1.5)其中)(iix并且将mi1简写成“”。此时nkkkxaxS0**)(，称它为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。因为任何连续函数至少在一个比较小的邻域内均可用多项式任意逼近，因此，在许多实际问题中，不论具体的函数关系如何，都可以用适当的多项式做数据拟合。2算法实现1860年以来地球平均温度变化表（表1）年份18601880189019001906192019301940195019601970增加值0.000.010.020.030.040.060.080.100.130.180.24年份198019902011增加值0.320.500.782.1基本思路根据表一数据，从1860年末起，以年份增加值为x轴，温度增加值为y轴，做出两者之间的曲线，并确定其关系。在此基础上应用最小二乘法对两者的相关曲线进行拟合，确定其函数关系中的参数，即温度增长与年份增长之间的关系，并对其进行误差分析。2.2函数关系似的确立由图像可知，温度的增长随年份增加接近于一条指数曲线，因而选择bxaey，（a,b为待定2-3函数关系线性化对bxaey两边取对数的bxaylnln，令yuln，aAln,于是有bxAu，这是一个线性模型，可用最小二乘法求解。取0=1，1=x,要求bxAu与),(iiux（i=1,2,3...14)做最小二乘拟合，由（1.4）得法方程：989.183510493610561475.30105614bAbA解得0175.0155.2bA从而116.0Aea，于是得最小二乘拟合曲线方程为：xey0175.0116.0当x=200时，y=3.82-4误差分析在最小二乘拟合中，误差分析用的是均方误差，其公式如下20*)(miiiiyyy20*)(miiixxxx中国海平面上升表（表2）年份1981-19901991-20002001-2010增加值（mm)205075