线性代数-矩阵的特征值与特征向量

第一节矩阵的特征值与特征向量第五章1.概念的引入2.特征值与特征向量的求法3.特征值与特征向量的性质4.矩阵的对角化5.小结6.思考与练习7.背景材料介绍性实例——动力系统与斑点猫头鹰-2-1990年,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问题上,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果采伐原始森林的行为得不到制止的话,猫头鹰将濒临灭绝的危险。数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研究,并建立了种群模型形如kkAxx1的差分方程。这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键.虽然讨论的是离散动力系统,但特征值和特征向量出现的背景要广泛的多,还被用来研究连续动力系统,为工程设计提供关键知识.另外还出现在物理、化学等领域。1.相似关系定义:,相似与则称BAAA-3-,,nnCBA设性质:(反身性)(对称性)(传递性)BAPP1∽∽∽∽记作AB(1)AAABBBC(2)(3)∽,B∽A∽C..,0,tsPCPnn若一、特征值与特征向量的定义引入.P11PPAn线性无关。且n,,1假设∽A),,(1ndiag即存在可逆矩阵，使得：nPAP1),,(),,(111),,(1nnnPAn按列分块.),,2,1(niAiii定义.,nnCAA-5-特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因为一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙！.0注意.特征向量特征值问题仅对方阵而言。,0若存在..,tsC设则称A为的特征值,为A的属于特征值的特征向量。-6-二阶方阵特征值的几何意义二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量的方向上的放大量。把方程yAx例如,1001A中的x看成输入变量,y看成输出变量,则这个矩阵方程就代表了一种线性变换.特征值为.1,121对应的特征向量为.10,0121由.,2211AA知横轴方向部分变换到负方向,纵轴方向尺度不变。-7-vAvuAu,4所以u是对应于特征值-4的特征向量。易证给定的向量是否是矩阵的特征向量,也易证判断给出的数是否是特征值。例1.设,2561A.23,56vu判断vu,是否是A的特征向量？解：容易验证v不是A的特征向量.(也可从图看出)xyuvAuAv例2.,,的特征向量属于是的特征值是设AA.A,)(22AAA,0)(2,0而.02.0,1或-8-设n阶方阵A满足：,2AA求的特征值.A解：注2.-9-注1.可类似证明,A的特征值只能是零。),(0为正整数kAk则(1)若,2IA则(2)若A的特征值只能是1或-1。(1)设0是)(0gA的特征值,)(xg为任一多项式,则是)(Ag的特征值。(2)设0是A的特征值,mA)(0为正整数mm必为的特征值。(3)设0是A的特征值,且A非奇异,则01为1A的特征值。0,0)(AI,nnCA设0)(XAI0AI-10-二、特征值、特征向量的求法0,A(1)定义.AI0nnnnnnaaaaaaaaa212222111211.,)(的特征多项式称为次多项式的是AnAIf(2)的非零解.是即特征向量0)(AIfA称为A的特征方程,其根为A的特征值..0)(,)2(的基础解系求出对每一个特征值XAI-11-特征值与特征向量的求法：0)1(AIfA从即对应于特征值的线性无关的特征向量.例3.求矩阵111111111AAIfA)(-12-的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解:(1)求A的特征值：的特征方程为A1111111111112023231rrrr.2,1,2321的特征值为A,21时0111131111321xxx-13-221121列展开按第)24()2(224423)2)(2)(1((2)求A的特征向量：当即,0)(1XAI0202321xxxx,12时0011121110321xxx-14-当即,0)(2XAI同解方程组为得基础解系为.1011即为21时的线性无关的特征向量.002132xxxx同解方程组为23-15-得基础解系为：1112即为12时的线性无关的特征向量。同理得对应于时的线性无关的特征向量为：.1213例4.533242111AAIfA)(-16-求矩阵的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解:(1)求A的特征值：的特征方程为A5332421110)6()2(2.6),(221二重的特征值为A,21时0333222111321xxx-17-(2)求A的特征向量：当即,0)2(XAI0321xxx同解方程组为：对应的线性无关的特征向量为：.101,01121,62时0133222115321xxx-18-当即,0)6(XAI023032321xxxxx同解方程组为对应的线性无关的特征向量为.3213则阶矩阵为设,)((1)naAijnnnnAaaaaAIf1111)(Aanniiin)1(11AtrAnnn)1()(1三、特征值与特征向量的性质-19-证:,..,1APPBtsP可逆阵APPIBIfB1)(PAIPPAIP11)(-20-于是,)(AfAI∽A)()(BAffB∽AB(2)从而，A与B的特征值也相同.,,)(由代数学基本定理知次多项式为nfA重特征值。的为也称iinA可作如下因式分解：在复数域上)(Afnnnnk21,的重数称为iinknnnAf)()()()(212,)(,,,21的互异零点为其中Akf.,的互异特征值是从而A.,,2,1ki-21-,nAn个特征值有且仅有阶矩阵(3)重特其中m.个计征值以m注1..0有零特征值AA注2.用处在于已知n-1个特征值,求最后一个特征值。),,2,1(00niAi-22-),(,,,(4)21未必互异个特征值的为设innA则.,111ininniiAtrA定义.00)(,00VXAIA的解空间称的特征值为设.0的特征子空间的属于为AmVmA0dim,(5)0则重特征值的为设.,,,1线性无关则特征向量s为对应的的互异特征值为设ssA,,,,,(6)11.,,,,,,11111也线性无关则sslsl,A,,s的互异特征值为设1(7)分别为ilii,,1的线性无关的特征向量属于i),,,2,1(si-23-.个线性无关的特征向量有可对角化nAA.,可对角化则相似于对角矩阵若AA四、矩阵的对角化定义.定理1.11PPAn),,(1ndiagAnPAP1∽证:),,(),,(111nnnA.,,),,1(,1线性无关且niiiniA即存在可逆矩阵,P使得由特征值与特征向量的引入知,假设-24-inVAidim可对角化定理2.可对角化个互异特征值有阶矩阵AnAn推论.可对角化的步骤：阶方阵判定An计算的特征值对于重数大于,1)2(i.的阶数为其中An.2,dim)3(得出结论并由定理是否成立判断inVi;,,,,)1(11kknnA及其重数的互异特征值求出,dimAIiirnV-25-定义.设n,,,21是A的特征值,对应的线性无关若令的特征向量分别为.,,,21n),,,(21nPn,,,21线性无关,.可逆P且有),,,(211ndiagAPP称P为将矩阵A对角化的变换矩阵。它的每一列是A的特征向量。-26-例5.（对于例3中的矩阵)111111111A.2,1,2321的特征值为A的特征向量为对应于321,,.121,111,101321判别是否可对角化,若可以,求出变换矩阵.解:由例3知,-27-2121APP111210111),,(21P所以，A可对角化。且变换矩阵为-28-533242111A解:.6),(221二重的特征值为A的特征向量为对应于21,.321,101,011321例6.（对于例4中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出变换矩阵.由例4知,-29-310201111),,(321P6221APP),(21二重对于的重数12213dim1AIrnV所以A可对角化,且变换矩阵为且-30-100,110,221321例7.,,0,33211ξAξAξξAξ三阶方阵A满足：求.,nAA已知向量:解：.1,0,13321个互异特征值有A由题设知,所以对应的特征向量为,,,321且线性无关，所以A可对角化,故相似于对角阵.,112012001),,(321P令,101-31-APP1则有故1PPA1112012001101112012001116002001)())((111PPPPPPAn111)()(PPPPPP1PPn-32-注：114012001)1(01112012001nnnn)1()1()1(420020011这是常用的求方阵幂的方法.-33--34-特征值与特征向量的应用Axx例如,求解常系数线性方程组的初值问题：0)0(,xxAxx其中，11,32220xA解：步骤(1)求A的特征值1，-2;(2)特征向量;(3)写出解,从而在平面上画出轨迹.离散动力系统连续动力系统-35