MATLAB实现拉格朗日插值

数值分析上机报告题目：插值法学号：201014924姓名：靳会有一、调用MATLAB内带函数插值1、MATLAB内带插值函数列举如下：interp1interpftinterp2interp3interpnsplinemeshgridndgridgriddata一维数据内插(查表法)使用FFT方法的一维数据内插二维数据内插(查表法)三维数据内插(查表法)多维数据内插(查表法)三次样条内插为三维绘图产生X和Y阵为多维函数和内插产生阵列数据网格2、取其中的一维数据内插函数（interp1）为例，程序如下：其调用格式为：yi=interp1(x,y,xi)yi=interp1(x,y,xi,method)举例如下：x=0:10:100y=[40444652657680828892110];xi=0:1:100yi=interp1(x,y,xi,'spline')3、其他内带函数调用格式为：Interpft函数：y=interpft(x,n)y=interpft(x,n,dim)interp2函数：ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI)，ZI=imerp2(Z,ntimes)ZI=interp2(Z,XI,YI)，ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)interp3函数：VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)VI=interp3(V,ntimes)VI=interp3(V,XI,YI,ZI)VI=interp3(…,method)Interpn函数：VI=interpn(X1,X2,X3,…,V,Y1,Y2,Y3,…)VI=interpn(V,ntimes)VI=interpn(V,Yl,Y2,Y3,…)VI=interpn(…,method)Spline函数：yi=spline(x,y,xi)pp=spline(x,y)meshgrid函数：[X,Y]=meshgrid(x,y)[X,Y]=meshgrid(x)[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z)Ndgrid函数：[X1,X2,X3,…]=ndgrid(x1,x2,x3,…)[X1,X2,X3,…]=ndgrid(x)Griddata函数：ZI=griddata(x,y,z,XI,YI)[XI,YI,ZI]=griddata(x,y,z,xi,yi)[…]=griddata(…method)二、自编函数插值1、拉格朗日插值法：建立M文件：functionf=Language(x,y,x0)symstl;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！');return;%检错endh=sym(0);for(i=1:n)l=sym(y(i));for(j=1:i-1)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;h=h+l;endsimplify(h);if(nargin==3)f=subs(h,'t',x0);%计算插值点的函数值elsef=collect(h);f=vpa(f,6);%将插值多项式的系数化成6位精度的小数end在MATLAB中输入：x=[18316668707270;]y=[23335251434046];f=Language(x,y)plot(x,y)结果为：f=Inf+(-t)*Inf-54329.8*t^2+1503.75*t^3-22.2065*t^4+0.16789*t^5-0.000512106*t^6图形如下：MATLAB实现拉格朗日插值建立如下拉格朗日插值函数：functiony=lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end画图程序如下：x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.001:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0,'r')holdonplot(x0,y1,'g')注：画出的图形为n=10的图形得到图形如下：牛顿K次插值多项式一、实验目的：1、掌握牛顿插值法的基本思路和步骤。2、培养编程与上机调试能力。二、牛顿插值法基本思路与计算步骤：给定插值点序列（))(,iixfx,,,1,0,ni。构造牛顿插值多项式)(uNn。输入要计算的函数点,x并计算)(xNn的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面)(xNn的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均差可用均差公式来计算。为的一阶均差。为的k阶均差。均差表：零阶均一阶均差二阶均差三阶均差n=10的图像kx差X0f(X0)X1f(X1)f[X0,X1]X2f(X2)f[X1,X2]f[X0,X1,X2]X3f(X3)f[X2,X3]f[X1,X2,X3]f[X0,X1,X2X3]MMMMM牛顿插值法计算步骤：1．输入n值及（))(,iixfx,,,1,0,ni；要计算的函数点x。2．对给定的,x由00010101201101()()(),()(),,()()(),,nnnNxfxxxfxxxxxxfxxxxxxxxxfxxx计算()nNx的值。3．输出()nNx。程序清单：function[c,d]=newpoly(x,y)%牛顿插值的MATLAB实现%这里x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。%c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。n=length(x);%取x的个数。d=zeros(n,n);%构造nXn的空数组。d(:,1)=y';forj=2:nfork=j:nd(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));endendc=d(n,n);fork=(n-1):-1:1c=conv(c,poly(x(k)));%conv求积，poly(x)将该多项式的系数赋给向量。m=length(c);c(m)=c(m)+d(k,k);end五、测试数据与结果：测试数据：（第三章习题第三题第2题）f(x)=lnx的数值如表所示，构造牛顿插值多项式并求ln0.53的值。X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144解：由表可知x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,x3=0.7,x4=0.7，函数值：Y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826,y3=-0.357765,y4=-0.223144建立一个主程序np.mclcclearnewpoly([0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.357765,-0.223144])计算结果如下：ans=-0.30962.6083-5.48615.6921-2.4744由此看出所求的牛顿多项式为：P(x)=-0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744P(0.53)=-0.6347。