二维随机变量的数字特征

ijjYjjjijiiiXijjiiypypyYExpxpxXE)()()()(1o当(X，Y)为二维离散型随机变量时dyyyfdxdyyxyfYEdxxxfdxdyyxxfXEYX)(),()()(),()(2o当(X，Y)为二维离散型随机变量时二维离散型随机变量(X，Y)，其函数的期望ijjijipyxgYXgEZE),()),(()(dxdyyxfYXgYXgEZE),(),()),(()(二维连续型随机变量(X，Y)，其函数的期望特别有dxdyyxfXExXEXEXD),())(())(()(22dxxfXExX)())((2dxdyyxfYEyYEYEYD),())(())(()(22dyyfYEyY)())((2数学期望和方差的三个重要性质：)()()(YEXEYXEniiniiXEXE11)()()()()(YEXEXYE1.推广推广niiniiXEXE11)()(设X与Y相互独立，则2.设X与Y相互独立，则3.)()()(YDXDYXDniiniiXDXD11)()(推广例题讲解某学校流行某种传染病，患者约占，为此学校决定对全校1000名师生进行抽血化验。现有两个方案：①逐个化验；②按四个人一组分组，并把四个人抽到的血混合在一起化验，若发现有问题再对四个人逐个化验。问那种方案好？1.问题的提出那么相互独立和若随机变量,YX).()()(YDXDYXD不相互独立和若随机变量YX?)(YXD22)]([)()(YXEYXEYXD)]}.()][({[2)()(YEYXEXEYDXD2协方差与相关系数协方差)]}.()][({[),ov(C),,Cov(.)]}()][({[,),(YEYXEXEYXYXYXYEYXEXEYX即记为的协方差与称为随机变量量是二维随机变量设2.定义.)()(),Cov(的相关系数与称为随机变量而YXYDXDYXXY)]}()][({[),Cov(YEYXEXEYX)]([)]([YEYEXEXE.0相互独立和若随机变量YX)3()]}()][({[2)()()(YEYXEXEYDXDYXD).()(YDXD相互独立和若随机变量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD3.说明.,)1(个无量纲的量它是一协方差的相关系数又称为标准和YX协方差的计算公式})](){[()(2YXEYXEYXD.),,,,,(~),(222121相关系数的与试求设YXρσσμμNYX例1结论;,)1(的相关系数与代表了参数中二维正态分布密度函数　　　YXρ.)2(相互独立与等价于相关系数为零与二维正态随机变量　　　YXYX.23,21),4,0(),3,1(,22YXZρNNYXXY设分别服从　　已知随机变量??)3(.)2(.)1(为什么是否相互独立与问的相关系数与求的数学期望和方差求ZXZXZ例2二、相关系数的意义1.相关系数的意义.Y,X,ρXY较密切的线性关系表明较大时当.,,线性相关的程度较差较小时当YXρXY.YX,0ρXY不相关和称时定义：当(1)不相关与相互独立的关系2.注意相互独立不相关(2)不相关的充要条件;0,1oXYρYX不相关;0),Cov(,2oYXYX不相关).()()(,3oYEXEXYEYX不相关.),(的关系相关系数的概率密度曲面与　　二维正态随机变量XYYX中心矩的二阶混合维随机变量　　设),,,(21nXXXn,,,2,1,)]()][({[),Cov(都存在njiXEXXEXEXXcjjiijiij则称矩阵nnnnnncccccccccC212222111211.协方差矩阵维随机变量的为n三、协方差矩阵的协方差矩阵为二维随机变量例如),(21XX22211211ccccC},)]({[21111XEXEc其中)]},()][({[221112XEXXEXEc)]},()][({[112221XEXXEXEc}.)]({[22222XEXEc.,),,2,1,(阵为对称的非负定矩阵所以协方差矩由于njiccjiij协方差矩阵的应用.,的研究差矩阵达到对随机变量从而可通过协方变量的概率密度随机协方差矩阵可用来表示推广,)()()(2121nnXEXEXEμμμμ.212222111211nnnnnncccccccccC,),,,(21TnxxxX其中示为的概率密度可表维随机变量),,,(21nXXXn),,,(nxxxp21.)()(21exp)(det)π2(11212μXCμXCTn四、小结协方差与相关系数的定义,)]}()][({[的协方差与称为随机变量量YXYEYXEXE),,(CovYX记为)]}()][({[),(CovYEYXEXEYX.)()(),(Cov关系数的相与为随机变量称YXYDXDYXXY相关系数的意义.Y,X,ρXY较密切的线性关系表明较大时　　当.,,线性相关的程度较差较小时当YXρXY.,0不相关YXρXY和称时当