搜索
解一元一次方程（提高）知识讲解责编:康红梅【学习目标】1.了解一元一次方程及其相关概念，熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3.会求解含字母系数的一元一次方程及含绝对值的一元一次方程.【要点梳理】要点一、一元一次方程的有关概念只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①是一个方程．②必须只含有一个未知数．③含有未知数的项的最高次数是1．④分母中不含有未知数．（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是常数).（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是常数）.要点二、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解bxa．不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点三、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为axbc的形式，然后再分类讨论：(1)当0c时，无解；（2）当0c时，原方程化为：0axb；（3）当0c时，原方程可化为：axbc或axbc.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，bxa；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．【典型例题】类型一、一元一次方程的相关概念1．已知下列方程：①210x；②x＝0；③13xx；④x+y＝0；⑤623xx；⑥0.2x＝4；⑦2x+1-3＝2(x-1)．其中一元一次方程的个数是()．A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】方程①中未知数x的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数x，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程；⑦经化简后为-2＝-2，故它也不是一元一次方程；方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程．【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②经过整理未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）．举一反三：【变式】（2014秋•莒县期末）已知x=5是方程ax﹣8=20+a的解，则a=．【答案】7把x=5代入方程ax﹣8=20+a得：5a﹣8=20+a，解得：a=7．故答案为：7．类型二、去括号解一元一次方程2.解方程：112[(1)](1)223xxx【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233xxx再去中括号得：1112224433xxx移项，合并得：5111212x系数化为1，得：115x解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23xxx去小括号，并移项合并得：51166x，解得：115x解法3：原方程可化为：112[(1)1(1)](1)223xxx去中括号，得1112(1)(1)(1)2243xxx移项、合并，得51(1)122x解得115x【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：1111111102222x．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号111111102242x，去中括号11111102842x，去大括号11111016842x，移项、合并同类项，得115168x，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得111111112222x，两边都乘2，得1111112222x，移项，得111113222x，两边都乘2，得1111622x移项，得111722x，两边都乘2，得11142x，移项，得1152x，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．类型三、解含分母的一元一次方程4．(2015.三台县期末)解方程：12130.20.5xx【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【答案与解析】解：将分母化为整数得：10102010325xx去分母，得：50x+50+40x-20=30移项，合并得：x=0．【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，移项合并，把系数化为1，求出解.举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3yy．【答案】解：原方程可化为4932153yy．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得2y＝3．系数化为1，得32y．类型四、解含绝对值的方程5．解方程：|x-1|+|x-3|=3【思路点拨】分别讨论①x＜1，②1＜x＜3，③x＞3，根据x的范围去掉绝对值符号，解方程即可．【答案与解析】解：当x＜1时，原方程就可化简为：1-x+3-x=3，解得：x=0.5；第二种：当1＜x＜3时，原方程就可化简为：x-1-x+3=3，不成立；第三种：当x＞3时，原方程就可化简为：x-1+x-3=3，解得：x=3.5；故x的解为0.5或3.5．【总结升华】解含绝对值的方程的关键，就是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，把它化为为一般的方程，从而解决问题，注意讨论x的取值．举一反三：【变式】关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解，求a的值．【答案】解：①若|x-2|-1=a，当x≥2时，x-2-1=a，解得：x=a+3，a≥-1；当x＜2时，2-x-1=a，解得：x=1-a；a＞-1；②若|x-2|-1=-a，当x≥2时，x-2-1=-a，解得：x=-a+3，a≤1；当x＜2时，2-x-1=-a，解得：x=a+1，a＜1；又∵方程有三个整数解，∴可得：a=﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．即a只能取1．类型五、解含字母系数的方程6.解关于x的方程：1mxnx【答案与解析】解：原方程可化为：()1mnx当0mn，即mn时，方程有唯一解为：1xmn；当0mn，即mn时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式axb，再根据x系数a是否为零进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】举一反三：【变式】若关于x的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数k的值.【答案】解：∵原方程有解，∴40k原方程的解为：64xk为正整数，∴4k应为6的正约数，即4k可为：1，2，3，6∴k为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.