高等代数(北大第三版)第一章多项式-1.1数域

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式§1.1数域一、数域二、数域性质定理§1.1数域一、数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）定义§1.1数域说明：1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的．2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集P为一个数域．§1.1数域是一个数域．例1．证明：数集(2)2|,QababQ证：0002,1102,,(2),xyQ又对2,2,xabycd设则有(2)()2(2)xyacbdadbcQ0,1(2)Q,,,,abcdQ()()2(2),xyacbdQ设20,ab于是也不为0．2ab§1.1数域或0,0ab矛盾）（否则，若20,ab则2,ab2,aQb于是有20.ab2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab222222.22acbdadbcQabab为数域．(2)Q(),,1QiabiabQi是数域.类似可证Gauss数域§1.1数域例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一一个数域．有证：由题设任取,,abP0,aaP1(0),bPbb(0),ababP,abP(0),aPbb所以，P是一个数域．110,bbabP时,00.babP时,§1.1数域二、数域的性质定理任意数域P都包括有理数域Q．即，有理数域为最小数域．证明：设P为任意一个数域．由定义可知，于是有01.PP，,111mZmP§1.1数域进而有,,,mmnZPn而任意一个有理数可表成两个整数的商，.QP0.mmPnn§1.1数域设P为非空数集，若则称P为一个数环．附:,,,abPabPabP例如，整数集Z就作成一个数环．数环§1.1数域练习1{21|},PnnZ2{2|}(2).PnnZZ判断数集是否为数域？为什么?12,PP§1.1数域作业S是数域吗？２．证明：集合是一个数环．,2nmSmnZ1．若为数域，证明：也为数域．12,PP12PP