归纳函数极限的计算方法

1归纳函数极限的计算方法1.预备知识1.1函数极限的定义]1[设函数f在点0x的某个空心邻域'0(;)Ux内有定义，A为定数，若对任给的0，存在正数'()，使得当00||xx时有|()|fxA，则称函数当趋于0x时以A为极限，记作0lim()xxfxA或()fxA0()xx.2.求函数极限的方法总结极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧.2.1依据函数极限的迫敛性求极限函数极限的迫敛性设00lim()lim()xxxxfxgxA，且在某'0(;)Ux内有()()()fxhxgx，则0lim()xxhxA.例1求极限]1[lim0xxx解：当0x时，有1]1[1xxx而1)1(lim0xx,由函数迫敛性可得1]1[lim0xxx同理可得0x时,1]1[lim0xxx，即1]1[lim0xxx注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式：1cos1,1sin1),0(1][),0(][1xxxxxxxxxx22.2依据极限的四则运算求极限]2[依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型：分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则：例2求极限11lim1nmxxx（n和m都是正整数）解：原式=)1)(1()1)(1(lim21211nnmmxxxxxxx=nmxxxxnnmmx11lim21211,0,等未定型：因“”不是一个数，故该类型的题目不能直接使用运算法则，但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法，将其转化为极限存在后，再运用法则计算.例3求极限)1311(lim21xxx解：原式=)1)(1(31lim221xxxxxx=133)1)(1()2)(1(lim21xxxxxx2.3依据两个重要极限求极限两个重要的极限:0sinlim1xxx，1lim(1)xxex.函数经过一定变形，若能出现以下情况：))(())(1(),)(())(11(),0)(()()(sin)(1)(xhxhxgxgxfxfxfxhxg时，也可采用重要极限来求.例4求极限]2[3203sinsin3limxxxxx3解：原式=101301333sin3sinsin3lim20xxxxxxx例5求极限12)1323(limxxxx解：原式=223123131)2313(])1331[(limeexxxxx2.4依据等价无穷小替换求极限求函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小,如当0x时:.~1)1(,~)1ln(,~1,~arctan,~arcsin,~tan,~sinxxxxxexxxxxxxxx例6求极限]2[30sinsintanlimxxxx解:原式30sincossinsincos1limxxxxxx2302sinsin12limcossinxxxxx230112limcos2xxxxx注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代.2.5依据洛必达法则求极限洛必达法则]1[:00型不定式极限若函数f和g满足:(i)00lim()lim()0xxxxfxgx;(ii)在点0x的某空心邻域00()Ux内两者都可导,且'()0gx(iii)0'()lim'()xxfxAgx(A可为实数,也可为或),则00()'()limlim()'()xxxxfxfxAgxgx4型不定式极限若函数f和g满足:(i)00lim()lim()xxxxfxgx;(ii)在点0x的某右邻域00()Ux内两者都可导,且'()0gx(iii)0'()lim'()xxfxAgx(A可为实数,也可为或),则00()'()limlim()'()xxxxfxfxAgxgx因此函数为,00型，通常可采用此法，如下：例7计算极限)cos1(])1arctan([lim0002xxdudttxxx解：原式xxxdttxxsin)cos1()1arctan(lim20020arctan(1)2lim2sinsinxxxxxx222042arctan(1)1lim3cossinxxxxxxx202arctan(1)lim3cos6xxx注：“洛必达法则”是求函数极限的有力工具，但在运用中，由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加,导致求极限过程繁琐，因此用HoshitalL'法则求,00型的极限是不够的，需综合运用其它方法才能发挥作用.2.6依据麦克劳林展开式求极限一般常见函数的麦克劳林公式]1[:21()2!!nxnxxexxn352112sin(1)()3!5!(21)!mmmxxxxxxm524221cos1(1)()2!4!(2)!mmmxxxxxm231ln(1)(1)()23nnnxxxxxxn2(1)(1)(1)(1)1()2!!nnnxxxxxn211()1nnxxxxx利用洛必达法则求,00型极限时，其结果是化成某阶导数的比，而麦克劳林展开式的各项系数正分别含着各阶导数的值，因此对,00型函数极限也可采用此法.例8求极限402coslimxexxx解：245cos1()224xxxx224521()28xxxex原式=24544001()cos112limlim12xxxxxxexx注：若本题采用洛必达法则去做，会导致计算过程繁杂.2.7运用函数的连续性求极限函数的连续性定义]1[:设函数f在某0()Ux内有定义,若00lim()()xxfxfx,则称f在点0x连续.若函数f在区间I上的每一点都连续,则称f为I上的连续函数.例9计算极限35lim222xxx思路：)(xf为连续函数,0x为)(xf的定义区间上的一点，则)()(lim00xfxfx.解：原式=932522262.8运用导数的定义求极限导数的定义]1[:设函数()yfx在点0x的某邻域内有定义,若极限000()()limxxfxfxxx存在,则称函数f在点0x处可导,并称该极限值为函数f在点0x处的导数,记作0'()fx.若函数f在区间I上的每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称f为I上的可导函数.例10计算)0(ln)ln(lim0hxhxhx思路：对具有000)()(limxxxfxfx或hxfhxfh)()(lim000形式的极限，可由导数的定义来进行计算.解：原式=hxhx1|)'(ln2.9运用定积分的定义求极限定积分的定义]1[:设f是定义在[,]ab上的一个函数,J是一个确定的实数.若对任意给的正数,总存在某一正数,使得对[,]ab的任何分割T,以及在其上任意选取的点集{}i,只要T,就有1()niiifxJ则称函数f在区间[,]ab上可积或黎曼可积;数J称为f在区间[,]ab上的定积分或黎曼积分,记作()baJfxdx例11计算]3[01lim[1cos1cos1cos]2nnnnn思路：和式极限，利用定积分定义10011lim()()nniiffxnndx求得极限.7解：原式011lim1cosnniinn101cos()xdx10222cos2xdx2.10运用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理]1[:若函数f满足如下条件：（i）f在闭区间[,]ab上连续；（ii）f在开区间(,)ab内可导，则在内至少存在一点，使得'()()()fbfafba.例12：计算]3[sin0limsinxxxeexx思路：对函数()fx在区间[sin,]xx上运用拉格朗日中值定理，即可求得.解：原式0lim1e（其中在[sin,]xx区间内）综上所述，求极限时，在不同的函数类型下，所采用的技巧是各不相同的，对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型和对以上的解法的灵活运用是必要的.