1立体几何空间点、线、面的位置关系1.五种位置关系,用相应的数学符号表示(1)点与线的位置关系:点A在直线l上;点B不在直线l上(2)点与面的位置关系:点A在平面内;点B在平面外(3)直线与直线的位置关系:a与b平行;a与b相交于点O(4)直线与平面的位置关系:直线a在平面内;直线a与平面相交于点A;直线a与平面平行(5)平面与平面的位置关系:平面与平面平行平面与平面相交于a平行问题(一)直线与直线平行1.定义:在同一平面内不相交的两条直线平行2.判定两条直线平行的方法:(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行(公理4),记为a//b,b//ca//c(2)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。记为://,,//aabab.(3)两个平面平行的性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(4)线面垂直的性质定理:如两条直线同垂直与一个平面,则这两条直线平行(二)直线与平面平行1.定义:直线a与平面没有公共点,称直线a平行与平面,记为a//2.线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。定理模式:.////ababa3、找线线平行常用的方法:①中位线定理②平行四边形③比例关系④面面平行-线面平行①中位线定理例题:已知如图:平行四边形ABCD中,6BC,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.(1)求证:GH∥平面CDE;(2)若2,42CDDB,求四棱锥F-ABCD的体积.(1)证明:连结EA,∵ADEF是正方形∴G是AE的中点∴在⊿EAB中,//GHAB又∵AB∥CD,∴GH∥CD,∵HG平面CDE,CD平面CDE∴GH∥平面CDE(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD._H_G_D_A_B_CEF2EBCDAP∵6BC,∴6FA又∵2,42CDDB,222CDDBBC∴BD⊥CD∴ABCDSCDBD=82∴FABCDV13ABCDSFA=182616233、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,4,3PDDC,E是PC的中点。(1)证明://PABDE平面;(2)求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。解析:(1)连接,AC交BD于O,连接EO…………2分ABCD是正方形,∴O为AC中点,E为PA的中点,∴//OEPA又OE平面BDE,PABDE平面//PABDE平面(2)过D作PA的垂线,垂足为H,则几何体为DH为半径,分别以,PHAH为高的两个圆锥的组合体侧棱PD底面ABCD∴PDDA,4,3PDDADC,w.∴5PA431255PDDADHPA221133VDHPHDHAH=213DHPA2112()535=485②平行四边形例2、如图,在矩形ABCD中,2ABBC,,PQ分别为线段,ABCD的中点,EP⊥平面ABCD.求证:AQ∥平面CEP;(利用平行四边形)证明:(Ⅰ)在矩形ABCD中,∵AP=PB,DQ=QC,∴APCQ.∴AQCP为平行四边形.∴CP∥AQ.∵CP平面CEP,AQ平面CEP,∴AQ∥平面CEP.③比例关系例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点,M、N分别是PB、BC上的点,且NCBNPMBM,求证:MN//平面PCD(利用比例关系)证明:NCBNPMBM在三角形PBC中,MN//PCMN平面PCD,PC平面PCDMN//平面PCD3ABCDEF④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。(Ⅰ)求证:平面ABE//平面CDF(II)求证:AE//平面DCF;(利用面面平行-线面平行)(三).两个平面的位置关系有两种:相交(有一条交线)、平行(没有公共点)1.两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行。定理的模式://////ababPab2.垂直于同一直线的两个平面互相平行例、在正方体1111ABCDABCD中,E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证:平面1DEF∥平面BDG.证明:E、F分别是AB、AD的中点,EF∥BD……2分又EF平面BDG,BD平面BDGEF∥平面BDG……4分1DGEB四边形1DGBE为,1DE∥GB……6分又1DE平面BDG,GB平面BDG1DE∥平面BDG,……10分1EFDEE,平面1DEF∥平面BDG……12分3.两个平面平行的性质定理(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面;(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。baab////空间线面垂直、面面垂直一、直线与平面垂直:直线与平面内任意一条直线都垂直垂线、垂面、垂足、画法二、线面垂直的判定判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。三、线面垂直的性质定理:如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。四、证线线垂直的方法:4ACBPMFEABCDG①菱形的对角线互相垂直②等腰三角形底边的中线垂直底边③圆的直径所对的圆周角为直角④利用勾股定理⑤间接法,用线面垂直的性质定理(blbbl,)①菱形的对角线互相垂直:例题。已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点,EF交AC于M,GC垂直于ABCD所在平面。求证:EF⊥平面GMC.证明(1)连结BD交AC于O,∵E,F是正方形ABCD边AD,AB的中点,AC⊥BD,∴EF⊥AC.∵AC∩GC=C,∴EF⊥平面GMC.②等腰三角形底边的中线垂直底边例1、如图,在三棱锥PABC中,2ACBC,90ACB,APBPAB,PCAC.求证:PCAB;解:取AB中点D,连结PDCD,.APBP,PDAB.ACBC,CDAB.PDCDD,AB平面PCD.PC平面PCD,PCAB.③圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB是圆O的直径,C是圆周上异于A、B的任意一点,PA平面ABC,(1)图中共有多少个直角三角形?(2)若PCAH,且AH与PC交于H,求证:AH平面PBC.④利用勾股定理例4、在长方体1111DCBAABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱21AA,E是侧棱1BB的中点。求证:AE平面11ADE;证明:1111DCBAABCD为长方体,111111AABBAEAABBDA平面平面AEDA11又E是1BB的中点,且11ABEBBE21AEEA又AEEAAAEAAEEAAAA12121211,,,2中在又EDAEADAAEADA111111111,平面且EDAAE11平面D1C1B1A1EDCBAPACBHO5⑤间接法,用线面垂直的性质定理(blbbl,)五、面面垂直(1)两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。(2)两平面垂直的判定定理:(线面垂直面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。例1如图,AB是⊙O的直径,PA垂直⊙O所在的平面,C是圆上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.证明:设⊙O所在平面为α,又已知条件,PA⊥α,BC在α内,所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是⊙O的直径,所以,∠BCA是直角,即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线,所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内,所以,平面PAC⊥平面PBC.(3)两平面垂直的性质定理:(面面垂直线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。例1:如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD,O为AD中点.,求证:PO⊥平面ABCD;证明:△PAD中PA=PD,O为AD中点,PO⊥AD.侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,PO⊥平面ABCD.例2:如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB;证明:(1)aADABDAB且60,固ABD为等边三角形,又G为AD的中点,BGAD又平面PAD平面ABCD且交于AD,ABCD平面BDBG平面PAD(面面垂直的性质)(2)PAD是等边三角形且G为AD的中点,ADPG且ADBG,PGBGG,AD平面PBG,PB平面PBG,ADPB6A例题CDEPFBABCPD五、体积问题1.如图,1111DCBAABCD是正四棱柱侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点。(1)求证://1BD平面DEC1;(2)求三棱锥BCDD1的体积.解(1)证明:连接D1C交DC1于F,连结EF∵正四棱柱,∴四边形DCC1D1为矩形,∴F为D1C中点.在△CD1B中,∵E为BC中点,∴EF//D1B.又∵D1B面C1DE,EF面C1DE,∴//1BD平面DEC1.(2)连结BD,DBCDBCDDVV11,∵正四棱柱,∴D1D⊥面DBC.∵DC=BC=2,∴22221BCDS.3212313111DDSVBCDDBCD.六:等体积法求高(距离):h如:三棱锥V1BECF=V1EFCB31S1BECh=31S1EFCBE例题、如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD;四边形ABCD是菱形,边长为2,60BCD,经过AC作与PD平行的平面交PB与点E,ABCD的两对角线交点为F.(Ⅰ)求证:ACDE;(Ⅱ)若3EF,求点D到平面PBC的距离.(Ⅰ)证明:连接DE.因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.又因为PD平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC.而PDBDF,所以AC平面PBD.DE平面PBD,所以ACDE.(Ⅱ)连EF.设点D到平面PBC的距离为h由题PD∥平面ACF,平面ACF平面PDBEF所以PD∥EF,点F是BD中点,则EF是PBD的中位线,12EFPD3EF,故23PD,正三角形BCD的面积1322322BCDs由(Ⅰ),知PD平面BCD,11323233PBCDBCDVsPD13PBCDDBCPBCPVVsh,易求得4PCPB,1215152BCPs所以5152,2315hh故点D到平面PBC的距离为5152.3、如图4,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC∥,PAD△是等边三角形,已知24BDAD,225ABDC.(1)求证:BD平面PAD;(2)求三棱锥APCD的体积.(1)证明:在ABD△中,由于2AD,4BD,25AB,EA1B1C1D1DCBA7∴222ADBDAB.∴ADBD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,BD平面ABCD,∴BD平面PAD.(2)解:过P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD,∴PO平面ABCD.∵PAD△是边长为2的等边三角形,∴3PO.由(1)知,ADBD,在RtABD△中,斜边AB边上的高为455ADBDhAB.∵