必修2立体几何线面、面面平行、线面、面面垂直-2

1立体几何空间点、线、面的位置关系1．五种位置关系，用相应的数学符号表示（1）点与线的位置关系：点A在直线l上；点B不在直线l上（2）点与面的位置关系：点A在平面内；点B在平面外（3）直线与直线的位置关系：a与b平行；a与b相交于点O（4）直线与平面的位置关系：直线a在平面内；直线a与平面相交于点A；直线a与平面平行（5）平面与平面的位置关系：平面与平面平行平面与平面相交于a平行问题（一）直线与直线平行1.定义：在同一平面内不相交的两条直线平行2.判定两条直线平行的方法：（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行（公理4），记为a//b,b//ca//c（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。记为：//,,//aabab．（3）两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（4）线面垂直的性质定理：如两条直线同垂直与一个平面，则这两条直线平行（二）直线与平面平行1.定义：直线a与平面没有公共点，称直线a平行与平面，记为a//2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。定理模式：．////ababa3、找线线平行常用的方法：①中位线定理②平行四边形③比例关系④面面平行-线面平行①中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD中，6BC，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．（１）求证：GH∥平面CDE；（２）若2,42CDDB，求四棱锥F-ABCD的体积．（1）证明：连结EA，∵ADEF是正方形∴G是AE的中点∴在⊿EAB中，//GHAB又∵AB∥CD，∴GH∥CD，∵HG平面CDE，CD平面CDE∴GH∥平面CDE（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD._H_G_D_A_B_CEF2EBCDAP∵6BC,∴6FA又∵2,42CDDB，222CDDBBC∴BD⊥CD∴ABCDSCDBD＝82∴FABCDV13ABCDSFA＝182616233、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，4,3PDDC，E是PC的中点。（1）证明：//PABDE平面；（2）求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。解析：（1）连接,AC交BD于O，连接EO…………2分ABCD是正方形，∴O为AC中点，E为PA的中点，∴//OEPA又OE平面BDE,PABDE平面//PABDE平面（2）过D作PA的垂线，垂足为H，则几何体为DH为半径，分别以,PHAH为高的两个圆锥的组合体侧棱PD底面ABCD∴PDDA，4,3PDDADC，w.∴5PA431255PDDADHPA221133VDHPHDHAH=213DHPA2112()535=485②平行四边形例2、如图,在矩形ABCD中,2ABBC,,PQ分别为线段,ABCD的中点,EP⊥平面ABCD.求证:AQ∥平面CEP；（利用平行四边形）证明:(Ⅰ)在矩形ABCD中,∵AP＝PB,DQ＝QC,∴APCQ.∴AQCP为平行四边形.∴CP∥AQ.∵CP平面CEP,AQ平面CEP,∴AQ∥平面CEP.③比例关系例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是PB、BC上的点，且NCBNPMBM,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)证明：NCBNPMBM在三角形PBC中，MN//PCMN平面PCD，PC平面PCDMN//平面PCD3ABCDEF④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。（Ⅰ）求证：平面ABE//平面CDF（II）求证：AE//平面DCF；（利用面面平行-线面平行）（三）.两个平面的位置关系有两种：相交（有一条交线）、平行（没有公共点）1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：//////ababPab2.垂直于同一直线的两个平面互相平行例、在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF∥平面BDG.证明：E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD……2分又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG……4分1DGEB四边形1DGBE为，1DE∥GB……6分又1DE平面BDG，GB平面BDG1DE∥平面BDG，……10分1EFDEE，平面1DEF∥平面BDG……12分3.两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。baab////空间线面垂直、面面垂直一、直线与平面垂直：直线与平面内任意一条直线都垂直垂线、垂面、垂足、画法二、线面垂直的判定判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。三、线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。四、证线线垂直的方法：4ACBPMFEABCDG①菱形的对角线互相垂直②等腰三角形底边的中线垂直底边③圆的直径所对的圆周角为直角④利用勾股定理⑤间接法，用线面垂直的性质定理（blbbl,）①菱形的对角线互相垂直：例题。已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面。求证：EF⊥平面GMC．证明（1）连结BD交AC于O，∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝C，∴EF⊥平面GMC．②等腰三角形底边的中线垂直底边例1、如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．求证：PCAB；解：取AB中点D，连结PDCD，．APBP，PDAB．ACBC，CDAB．PDCDD，AB平面PCD．PC平面PCD，PCAB．③圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PCAH,且AH与PC交于H，求证：AH平面PBC.④利用勾股定理例4、在长方体1111DCBAABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱21AA，E是侧棱1BB的中点。求证：AE平面11ADE；证明：1111DCBAABCD为长方体，111111AABBAEAABBDA平面平面AEDA11又E是1BB的中点，且11ABEBBE21AEEA又AEEAAAEAAEEAAAA12121211,,,2中在又EDAEADAAEADA111111111,平面且EDAAE11平面D1C1B1A1EDCBAPACBHO5⑤间接法，用线面垂直的性质定理（blbbl,）五、面面垂直(1）两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。(2）两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α，又已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC.（3）两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。例1：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD,O为AD中点.，求证:PO⊥平面ABCD；证明：△PAD中PA＝PD，O为AD中点，PO⊥AD.侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，PO⊥平面ABCD.例2：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；证明：（1）aADABDAB且60,固ABD为等边三角形，又G为AD的中点，BGAD又平面PAD平面ABCD且交于AD，ABCD平面BDBG平面PAD(面面垂直的性质)（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，PB平面PBG，ADPB6A例题CDEPFBABCPD五、体积问题1.如图，1111DCBAABCD是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：//1BD平面DEC1；（2）求三棱锥BCDD1的体积.解（1）证明：连接D1C交DC1于F，连结EF∵正四棱柱，∴四边形DCC1D1为矩形，∴F为D1C中点.在△CD1B中，∵E为BC中点，∴EF//D1B.又∵D1B面C1DE，EF面C1DE，∴//1BD平面DEC1.（2）连结BD，DBCDBCDDVV11，∵正四棱柱，∴D1D⊥面DBC.∵DC=BC=2，∴22221BCDS.3212313111DDSVBCDDBCD.六:等体积法求高（距离）：h如：三棱锥V1BECF=V1EFCB31S1BECh=31S1EFCBE例题、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD；四边形ABCD是菱形，边长为2，60BCD，经过AC作与PD平行的平面交PB与点E，ABCD的两对角线交点为F．（Ⅰ）求证：ACDE；（Ⅱ）若3EF，求点D到平面PBC的距离．（Ⅰ）证明：连接DE．因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD．又因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC．而PDBDF，所以AC平面PBD．DE平面PBD，所以ACDE．（Ⅱ）连EF．设点D到平面PBC的距离为h由题PD∥平面ACF，平面ACF平面PDBEF所以PD∥EF，点F是BD中点，则EF是PBD的中位线，12EFPD3EF，故23PD，正三角形BCD的面积1322322BCDs由（Ⅰ），知PD平面BCD，11323233PBCDBCDVsPD13PBCDDBCPBCPVVsh，易求得4PCPB，1215152BCPs所以5152,2315hh故点D到平面PBC的距离为5152．3、如图4，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC∥，PAD△是等边三角形，已知24BDAD，225ABDC．（1）求证：BD平面PAD；（2）求三棱锥APCD的体积．（1）证明：在ABD△中，由于2AD，4BD，25AB，EA1B1C1D1DCBA7∴222ADBDAB.∴ADBD．又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，∴BD平面PAD.（2）解：过P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD．∵PAD△是边长为2的等边三角形，∴3PO.由（1）知，ADBD，在RtABD△中，斜边AB边上的高为455ADBDhAB.∵