函数的零点存在定理

《函数的零点存在定理》一、教材内容分析《函数的零点》第二课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。1、教材的地位与作用函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础。可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。2、内容分析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理。函数零点是研究当函数)(xf的值为零时，相应的自变量x的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与x轴的交点横坐标。由于函数)(xf的值为零亦即0)(xf，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程0)(xf有解，则函数)(xf存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与x轴的交点横坐标。顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。这是函数与方程关系认识的第一步。零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数)(xfy在区间ba,上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足0)()(bfaf，则函数)(xfy在区间ba,内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。定理的逆命题不成立。方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。二、教学内容诊断分析本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数。对于高一学生，在经过一段时间的学习，对函数和方程已有了一定的认知，但大部分学生还缺乏自主学习的能力，这就需要我们老师的启发与引导。三、教学目标分析知识与技能目标：①了解函数零点的概念,理解函数零点与对应方程根之间的关系。②理解函数零点的两条性质,初步掌握判断函数零点存在的方法。③在教学过程中渗透数形结合思想,在函数与方程,不等式的联系中体会数学中的转化思想。过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟从具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。情感态度与价值观目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，严谨的科学态度。四、教学重点、难点分析教学重点:①函数零点的定义；②函数零点、函数对应方程的实根、函数图像与x轴交点之间的关系；③函数零点存在性判定定理。教学难点:探究发现函数零点存在性判定定理，及利用函数的图像和性质判别函数零点的个数。五、教学支持条件分析（即教法与学法分析）结合本节课的教学内容和学生的认知水平：在教法上，借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”的教学模式。充分发挥教师的主导作用，引导、启发、充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。在学法上，“授人以鱼，不如授人以渔”，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。六、教学过程设计1、温故知新零点的定义：对于函数)(xfy，把使方程0)(xf成立的实数x,叫做函数)(xfy的零点。实数x的三重身份：是函数)(xfy的零点；函数对应方程0)(xf的实根；也是函数)(xfy图像与x轴交点的横坐标。我们知道了什么是函数的零点，那么怎样判断一个函数是否具有零点呢？这是我们这堂课主要研究的问题。设计意图：为学生顺利进入新知探究做好铺垫，以旧引新，也利于学生构建知识网络。2、探索新知⑴思考：对于任意给定的一个函数y=f(x)，如何判定它是否存在零点呢？答：判定方程f(x)=0是否有实根。师：很好，同学对函数零点的定义掌握得很透彻，这确实是一种直观的方法，它抓住了函数零点与方程实根之间的关系，这种方法可以解决一些我们熟悉的函数，比如一次函数、二次函数等的零点的问题。这样我们得到一种简单直观的判定函数零点存在性的方法：看对应函数的方程是否有实根。⑵探究：对于函数)(xfy，它对应的方程是否用实根不容易判断是时，如何判定它是否存在零点？师：可是更多的我们遇到的却不是一次、二次函数这样的能够容易求解实根的方程对应的函数。比如，函数1)(35xxxf，我们就不容易直接判断它对应的方程是否具有实根。前面我们有的方法不能解决这个问题，那么这时我们应该怎么办？这是我们接下来要探究的重要问题。①引入情境：过河问题观察两组图，看第几组图片能够说明人一定曾渡过河？观察可以发现，如果人到达了河的对岸，我们就可以肯定他过了这条河，人的初末位置应该位于河的两侧。②问题转化:利用情境的结论将生活中的实例转化为数学模型，用以解决数学问题。将河流看成x轴，人的初、末位置转化为A、B两点，人的运动轨迹转化为函数)(xfy的图像，那么，人是否过河究等价于AB段的函数图像与x轴是否相交。思考：结合之前的情境和问题的转化，思考过A、B点的函数满足什么条件,它的图像才能与x轴相交呢？③归纳结论：得出零点存在性定理分析转化过程和转化后的数学模型，得出结论——零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间ba,上的图像是连续不断的一条曲线，且0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间ba,内有零点。⑶理解定理：注意条件和结论注意定理的两个条件：在区间ba,上的图像是连续不断的一条曲线，并且满足式子0)()(bfaf。注意定理的结论：在区间ba,内有零点。至于有几个零点，怎样求出零点，是没有解决的问题，是需要思考，并在接下来的课上需要解决的。3、总结巩固这堂课重点学习了判定函数是否存在零点的方法：（1）直接法：根据方程是否有实根来判定；（2）间接法：利用零点存在性定理判定；设计意图：学生可以循序渐进的在教师的引导下自主动脑解决问题。体现了新课程中学生为主体，教师为主导的地位，七、目标检测设计（1）函数1)(35xxxf在区间0,1是否有零点？（2）学习生活中，曾经遇到有哪些问题利用了数学转化的思想进行解答呢？设计意图：可以用所学知识解决具体问题，也可以将数学知识应用到实际生活中，解决生活问题，体现了学习数学的本质。八、教学反思学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与x轴是否相交，也有一些直观的认识与体会。在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质。学生对于零点的概念是高中刚刚接触到的，对于零点的理解一定要强调是一个实数。对于怎么判断零点的存在，对于学生是一个难点。教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用。对于各个问题学生可以在教师的引导下得到有效的答案，可以针对的解决相应问题。以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难。学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区间。为此，我选取了生活中的实例，过河问题，使问题实际化，具体化，并且将实际的生活问题转化为数学问题，用生活中的经验给数学问题以启示，一方面，使数学生活化，趣味化，另一方面，引导学生观察生活的重要性，更重要的，使学生对数学中最基本的一种数学思想方法——转化思想有初步的认识，提高学生的数学思维水平。有效的解决了本节课预期让学生理解的知识点，知识要求。对于大部分学生可以达到预期效果。准确把握好学生自我探索与教师适当指导的关系始终是最难解决的问题，这需要教师长期对学生的了解和丰富教学经验的积累。