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第四章三角形1认识三角形新知1三角形的有关概念(1)三角形的概念.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.说明：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接.这三个条件缺一不可.(2)构成三角形的基本元素(如图4－1－1).①顶点：三角形中，相邻两线段的公共端点叫做三角形的顶点，三角形有三个顶点，点A，点B，点C.②边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，三角形有三条边，AB，BC，CA.③角：三角形的内角：三角形中，每相邻两边所组成的角叫三角形的内角；三角形有三个内角，∠ABC，∠BAC，∠ACB.(3)三角形的表示方法.三角形可用符号“△”表示，三角形ABC可表示为“△ABC”，读作“三角形ABC”.其中直角三角形用“Rt△”表示.【例1】如图4－1－2，图中有几个三角形？把它们表示出来，并写出∠B的对边.解图中的三角形有：△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC；∠B的对边有DE，AD，AC.点拨此题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键.解析根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案.举一反三1.如图4－1－3所示的图形中共有三角形()A.4个B.5个C.6个D.8个2.如图4－1－4所示，以AB为一边的三角形共有个.D33.如图4－1－5所示，在△ABE中，AE所对的角是，在△ADE中，AD是的对边，在△ADC中，AD是的对边.∠ABE∠AED∠ACD新知2三角形的三边关系(1)定理：三角形任意两边之和大于第三边.如图4－1－6，上述内容可表示为a＋bc，b＋ca，a＋cb.理论根据：两点之间线段最短.(2)推论：由a＋bc，根据不等式的性质，得c－ba.即三角形任意两边之差小于第三边.(3)利用三角形三边的关系，可以确定在已知两边的三角形中的第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形.【例2】一个三角形的两边b＝4，c＝7，试确定第三边a的范围.当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的各边长各是多少？解析根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边a的取值范围，即可得出结果.解当一个三角形的两边b＝4，c＝7时，第三边a的范围为7－4＜a＜7＋4，即3＜a＜11.当各边均为整数时，第三边可能为：4,5,6,7,8,9,10.因此共有7个三角形.当a＝4或a＝7时，这个三角形为等腰三角形.其各边长分别为：4,7,4；4,7,7.举一反三1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A.2cm,2cm,4cmB.2cm,6cm,3cmC.8cm,6cm,3cmD.11cm,4cm,6cm2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A.4cm,5cm,6cmB.6cm,8cm,15cmC.7cm,5cm,12cmD.3cm,7cm,13cmCA3.若三角形中的两边长分别为9和2，第三边长为偶数，求三角形的周长.解：设第三边长为x，则7x11.因为x为偶数，所以x＝8或10.当x＝8时，三角形周长为9＋2＋8＝19；当x＝10时，三角形周长为9＋2＋10＝21.新知3三角形的内角(1)定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.(2)性质：三角形三个内角的和等于180°.注意：①三角形内角和定理的证明方法很多.证明的基本思路是通过添加辅助线，把三角形的三个内角移到一处，组成一个平角.通过构造平角(如图4－1－7①所示)，构造邻补角(如图4－1－7②所示)，构造同旁内角(如图4－1－7③所示)等方法，实现问题的转化；②三角形内角和定理的作用：一是已知三角形中任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；二是已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；三是求一个三角形中各角之间的关系.【例3】如图4－1－8，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.(1)求∠BAE的度数；(2)求∠DAE的度数；(3)探究：小明认为如果只知道∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.解析(1)利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE.(2)先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数.(3)用∠B，∠C表示∠DAE即可.解(1)因为∠B＝70°，∠C＝30°，所以∠BAC＝180°－70°－30°＝80°.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝40°；(2)因为AD⊥BC，∠B＝70°，所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.而∠BAE＝40°，所以∠DAE＝20°；(3)可以.理由如下：因为AE为角平分线，若∠B－∠C＝40°，则∠DAE＝20°.举一反三1.如图4－1－9，∠α，∠β的度数分别为()A.30°，50°B.40°，80°C.50°，40°D.60°，40°C2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于()A.45°B.60°C.75°D.90°3.下列说法中正确的是()A.三角形的内角中至少有两个锐角B.三角形的内角中至少有两个钝角C.三角形的内角中至少有一个直角D.三角形的内角中至少有一个钝角CA新知4三角形的分类三角形分类有两种方法：(1)按角分类分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.(2)按边分类分为：不等边三角形、等腰三角形和等边三角形.【例4】下列说法正确的是()A.一个直角三角形一定不是等腰三角形B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形D.一个等边三角形一定不是钝角三角形解析如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故A选项错误；如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故B选项错误；如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故C选项错误；一个等边三角形的三个角都是60°.故D选项正确.答案D举一反三1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则此三角形按角分类应为.2.三角形中最大的内角不能小于()A.60°B.70°C.80°D.90°直角三角形A3.下列说法正确的是()A.一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B.一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C.一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D.一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形D新知5三角形的三条重要线段(1)三角形的中线.在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.说明：①三角形的中线是线段；②它在三角形内；③一个三角形有三条中线，它们交于一点，且这一点一定在三角形内，称为三角形的重心.(2)三角形的角平分线.三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.说明：①三角形的角平分线不同于角的平分线，前者是线段，后者是射线；②三角形的角平分线在三角形内部；③一个三角形有三条角平分线，它们交于一点，这一点一定在三角形内.(3)三角形的高.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.说明：①三角形的高是线段；②它不一定在三角形的内部；③一个三角形有三条高；④在锐角三角形中，三条高在三角形内，因而交点也在三角形内(如图4－1－10①)；在直角三角形中，一条高在三角形内，另外两条高恰好在三角形的两条直角边上，因而交点为直角顶点(如图4－1－10②)；在钝角三角形中，一条高在三角形内，另外两条高在三角形外，三条高的延长线交于三角形外一点(如图4－1－10③).【例5】如图4－1－11，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝()A.1B.2C.3D.4解析本题需先分别求出S△ABD，S△ABE，再根据S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE即可求出结果.解因为S△ABC＝12，EC＝2BE，点D是AC的中点，所以S△ABD－S△ABE＝S△ADF－S△BEF＝6－4＝2.答案B点拨本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键.举一反三1.如图4－1－12，BD＝DE＝EF＝FC，那么△ABE的中线是()A.ADB.AEC.AFD.以上都是A2.如图4－1－13，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，图中相等的线段是，相等的角是.3.如图4－1－14，当＝时，AD是△ABC的中线；当＝时，AD是△ABC的角平分线.∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC＝90°BF＝CFBDCD∠BAD∠CAD2.(3分)如图KT4－1－1，若D，E为△ABC的边AC上除A，C以外的任意两点，则图中共有三角形个.()A.4B.5C.6D.7C5.(3分)如图KT4－1－2，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于()A.110°B.115°C.120°D.130°B6.(3分)如图KT4－1－3，在△ABC中，点D是BC上任意一点，点E，F分别是AD，CE的中点，且S△BEF＝4cm2，则S△ABC的值为()A.1cm2B.2cm2C.8cm2D.16cm2D7.(6分)如图KT4－1－4，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.求∠BAE和∠DAE的度数.解：因为∠B＝70°，∠C＝30°，所以∠BAC＝180°－70°－30°＝80°，又因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝40°.因为AD⊥BC，∠B＝70°，所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.8.(6分)(1)在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，如图KT4－1－5①，小明经过探究发现：∠BOC＝90°＋∠A，请你说明理由；解：在ABC中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB，因为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，所以∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC＋∠ACB)，因为∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，所以∠BOC＝180°－180°－∠A)，所以∠BOC＝90°＋∠A.(2)当∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线相交于点O，如图KT4－1－5②，上面结论还成立吗？若成立说明为什么；若不成立，请你直接写出新的结论.解:不成立，理由如下：因为∠A＝∠ACD－∠ABC＝2∠OCD－2∠OBC＝2(∠OCD－∠OBC)，∠O＝∠OCD－∠OBC，所以2∠O＝∠A，所以∠BOC＝∠A.