2013-2018年上海高考试题汇编-数列

数列知识点1、等差数列的性质（2018秋6）记等差数列{}na的前n项和为nS，若30a，6714aa，则7S答案：14（2018春5）已知{}na是等差数列，若2810aa，则357aaa__________．答案：1知识点2：等差数列的判定（2017秋15）已知数列*2,Nncbnanxn，使得100200300,,kkkxxx成等差数列的必要条件是（）A.0aB.0bC.0cD.02cba答案：A知识点3：等差数列的递推关系式（2013年文22）已知函数()2fxx，无穷数列na满足1()nnafa，*nN．（1）若10a，求234,,aaa；（2）若10a，且123,,aaa成等比数列，求1a的值；（3）是否存在1a，使得12,,,,naaa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a；若不存在，说明理由．解：（1）22a，30a，42a．（2）21122aaa，321222aaa．①当102a时，31122aaa，所以22112aa，得11a．②当12a时，311224aaa，所以211142aaa，得122a（舍去）或122a．综合①②得11a或122a．（3）假设这样的等差数列存在，那么212aa，3122aa．由2132aaa得111222aaa（）．以下分情况讨论：①当12a时，由（）得10a，与12a矛盾；②当102a时，由（）得11a，从而1na1,2,n，所以na是一个等差数列；③当10a时，则公差2111220daaaa，因此存在2m使得1212maam．此时120mmmmdaaaa，矛盾．综合①②③可知，当且仅当11a时，123,,aaa构成等差数列．（2013理23）给定常数0c，定义函数()24fxxcxc．数列123,,,aaa满足1()nnafa，*nN．（1）若12ac，求2a及3a；（2）求证：对任意*nN，1nnaac；（3）是否存在1a，使得12,,,,naaa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a；若不存在，说明理由．解：（1）232,10aac．（2）8,33+8,8,xcfxxcxc,4,4.xccxcxc当nac时，18nnaacc；当4ncac时，12382438nnnaaacccc；当4nac时，128248nnnaaacccc．所以，对任意nN，1nnaac．方法二：要证：24xcxcxc24xcxcxc当0xc时，等式右边为0，不等式显然成立当0xc时，等式化为242xcxc显然（3）由（2），结合0c得1nnaa，即na为无穷递增数列．又na为等差数列，所以存在正数M，当nM时，nac，从而，1()8nnnafaac．由于na为等差数列，因此其公差8dc．①若14ac，则211()8afaac，又2118aadac，故1188acac，即18ac，从而20a．当2n时，由于na为递增数列，故20naac，所以，1()8nnnafaac，而218aac，故当18ac时，na为无穷等差数列，符合要求；②若14cac，则211()338afaac，又2118aadac，所以，113388acac，得1ac，舍去；③若1ac，则由1naa得到1()8nnnafaac，从而na为无穷等差数列，符合要求．综上，1a的取值集合为,8cc．知识点4：等比数列的性质（2015理17）记方程①：2110xax，方程②：2220xax，方程③：2340xax，其中123,,aaa是正实数．当123,,aaa成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根答案：B知识点5：等比数列的判定（2011理18）设{}na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iiaa的矩形面积（1,2,i），则{}nA为等比数列的充要条件为（）A{}na是等比数列B1321,,,,naaa或242,,,,naaa是等比数列C1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列D1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列，且公比相同答案：D知识点6：等差数列与等比数列综合（2016文22）对于无穷数列{}na与{}nb，记*{|,}nAxxanN，*{|,}nBxxbnN，若同时满足条件：①{}na，{}nb均单调递增；②AB且*ABN，则称{}na与{}nb是无穷互补数列．（1）若21nan，42nbn，判断{}na与{}nb是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若2nna且{}na与{}nb是无穷互补数列，求数列{}nb的前16项的和；（3）若{}na与{}nb是无穷互补数列，{}na为等差数列，且1636a，求{}na与{}nb的通项公式．【解】（1）因为4,4AB，所以4AB，从而{}na与{}nb不是无穷互补数列．（2）因为416a，所以416420b．数列{}nb的前16项的和为：2345120(1220)(2222)20(22)1802．（3）设{}na的公差为,ddN，则1611536aad．由136151ad，得1d或2．若1d，则121a，20nan，与“{}na与{}nb是无穷互补数列”矛盾；若2d，则16a，24nan，,525,5nnnbnn．综上，24nan，,525,5nnnbnn．（2014年理23）已知数列{}na满足1133nnnaaa，*nN，11a．（1）若2342,,9aaxa，求x的取值范围；（2）设{}na是公比为q的等比数列，12nnSaaa．若1133nnnSSS，*nN，求q的取值范围；（3）若12,,,kaaa成等差数列，且121000kaaa，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列12,,,kaaa的公差．解：（1）由条件得263x且933xx，解得36x．所以x的取值范围是[3,6]x．（2）由133nnaa，且110nnaaq，得0na，所以113nnSS．又1133nnnaaa，所以133q．当1q时，nSn，11nSn，由13nn得13nnSS成立．当1q时，13nnSS．即111311nnqqqq．①若13q，则(3)2nqq．由nqq，nN，得(3)2qq，所以12q．②若113q，则(3)2nqq．由nqq，nN，得(3)2qq，所以113q．综上，q的取值范围为1,23．（3）设12,,kaaa的公差为d．由1133nnnaaa，且11a，得1[1(1)]13[1(1)]3ndndnd，1,2,,1nk．即(21)2,(23)2,ndnd1,2,,1nk．当1n时，223d；当2,,1nk时，由222123nn，得221dn，所以22213dk．所以111210002221kkkkkadkk，即2200010000kk，得1999k．所以k的最大值为1999，1999k时，12,,kaaa的公差为11999．（2014文23）已知数列{}na满足1113,,13nnnaaanNa．（1）若1342,,9aaxa，求x的取值范围；（2）设{}na是等比数列，且11000ma，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{}na的公比；（3）若12100,,,aaa成等差数列，求数列12100,,,aaa的公差的取值范围．解：（1）由条件得263x且933xx，解得36x．所以x的取值范围是[3,6]x．（2）设{}na的公比为q．由133nnaa，且110nnaaq，得0na．因为1133nnnaaa，所以133q．从而111111()10003mmmaqq，131000m，解得8m．8m时，711[,3]10003q．所以，m的最小值为8，8m时，{}na的公比为741010．（3）设数列12100,,aaa的公差为d．由133nnnaada，223nnada，1,2,,99n．①当0d时，999821aaaa，所以102da，即02d．②当0d时，999821aaaa，符合条件．③当0d时，999821aaaa，所以9999223ada，2(198)2(198)3ddd，又0d，所以20199d．综上，12100,,aaa的公差的取值范围为2[,2]199．知识点7：数列的递推关系式与函数（2012文14）已知1()1fxx，各项均为正数的数列na满足11a，2()nnafa，若20102012aa，则2011aa的值是．答案：265133解：由11a，2()nnafa，得312a，579112358,,,35813aaaa由2()nnafa，得211nnaa，20102012aa，2010201220101111aaa，2010512a，20082010201011aaa，依次类推，得全体偶数项相等，22010aa所以2011851313513226aa（2017春21）已知函数21log1xfxx（1）解方程1fx；（2）设1,1,1,,xa证明：11,1axax，且11axffxfaxa；（3）在数列nx中，11,1x，113113nnnnxxx，nN，求1x的取值范围，使得3nxx对任意nN成立答案：（1）13x；（3）11,3；知识点8：数列的前n项和（2016理11）无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为______________.答案：4知识点9：数列的单调性和最值（2018春15）记nS为数列na的前n项和．“na是递增数列”是“nS为递增数列”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件答案：D（2015理22文23）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的第0n项是最大项，即0nnaa（n∈N*），求证：数列{bn}的第0n项是最大项；（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且2,2Mm．答案：（1）65n；（3）1,02知识点10：数列的周期性（2