谈中考图形折叠问题

谈中考图形折叠问题童桂恒（浙江金华市第四中学321000）图形折叠试题是考查学生空间想像能力和动手实践能力的一种题型.它不仅可以考查学生的素质水平，而且也为“注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程，倡导自主探索、合作交流与实践创新的学习方式，以真正实现空间与图形的教育价值”起着导向和督促作用①.在近年来全国各地的中考试题中，图形折叠问题渐渐成了考查的热点问题.一处理图形折叠问题的思想方法图形折叠问题实质是对称问题的应用.在处理图形折叠问题中，关键是抓住下面两点：(1)折叠前后的不变量：被折叠的图形与叠折后所得图形关于折痕所在直线成轴对称.因此，折叠前后对应的边相等，对应的角相等.(2)折叠前后的变化量：被折叠的图形与折叠后所得图形的对应顶点关于折痕所在直线对称.因此，折叠前后对应顶点之间的线段被折痕垂直平分.二常见图形折叠问题的三种类型1.三角形折叠三角形折叠有三种形式：主要形式是沿三角形一边上的中线(或高线、角平分线等)折叠；另两种形式是沿平行于底边的一直线折叠和使两顶点重合的折叠.例1在△ABC中，已知AB＝2a，∠A＝30°，CD是AB边上的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的14，有如下结论：①AC边的长可以等于a；②折叠前的△ABC的面积可以等于32a2；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等.其中正确结论的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个(2003年天津市中考题)分析题中给出的三个结论，①、②属存在性结论，我们可采用构图法予以解决.构造图1-(1)，AC＝a，∠A＝30°，AD＝DB＝a，则∠ADC＝∠ACD＝75°.把△ACD沿CD对折得图1-(2).根据折叠前后边角对应相等，在图中1-(2)中有：∠ADB＝∠CDB-∠ADC＝105°-75°＝30°＝∠A，因此AC∥DB；又AC＝DB＝a，故知四边形ACDB是平行四边形，Ｓ重叠部分＝Ｓ△CCD＝12Ｓ△ACD＝14Ｓ△ABC，所以结论①正确.由平行四边形的性质知结论③也正确.对于结论②可构造图1-(3)，便知结论正确(如图1-(4)).注释：①《数学教学实施指南》(初中卷)华中师范大学出版社2003年4月第1版第75页2.四边形折叠这类问题折叠方式有四种：沿四边形的一条对角线(或一边上高线)折叠，沿平行一边的直线(如对称轴)折叠，沿指定的直线折叠和使两顶点重合的折叠.例2在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE翻折后得△AB′E，求△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积.(2001年上海市中考题)分析如图2-(1)，在Rt△ABE中，∵BE＝ABcos45°＝2，∴CE＝2-2，B′E＝BEEC，∴点B′在EC的延长线上(如图2-(2)).设AB′与CD交于点F，则△AB′E与四边形AECD重叠部分即为四边形AECF.∵△ABE≌△AB′E，∴EB′＝BE＝2，CB′＝EB′-EC＝2-(2-2)＝22-2，∠B′＝∠B＝45°，∠B′AE＝∠EAB＝45°.∴∠BAB′＝90°，即AB′⊥AB.∵CD∥AB，∴AB′⊥CD.∴△CFB′为等腰直角三角形，CF＝FB′＝22CB′＝2-2.∴Ｓ重叠部分＝Ｓ△AEB′-Ｓ△CFB′＝Ｓ△ABE–Ｓ△CFB′＝12×(2)2-12×(2-2)2＝22-2.例3取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN(如图3-(1))；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E(如图3-(2))；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF(如图3-(3)).利用展开图3-(4)探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论；(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.(2003年山西省中考题)分析(1)由具体的折叠操作过程知：∠1＝∠2＝∠3＝60°，∠4＝∠5＝30°，∴∠6＝90°-30°-30°＝30°，∠EAF＝60°.∴△AEF是正三角形.(2)不一定，由上面的分析可知：当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽：长＝AB∶AF＝sin60°＝3∶2时正好能折出.如果设矩形的长为a，宽为b，可知当b≤32a时，按此法一定能折出等边三角形；当32aba时，按此法无法折出完整的等边三角形.例4OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6.(1)如图4-(1)，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式.(2)如图4-(2)，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E′.①求折痕AD所在直线的解析式；②再作E′F∥AB，交AD于点F，若抛物线y=-112x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数.(3)如图4-(3)，一般地，在OC、OA上选取适当的点D′、G′，使纸片沿D′G′翻折后，点O落在BC边上，记E″.请你猜想：折痕D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么关系?用(1)中的情形验证你的猜想.(2003年苏州市中考题)分析(1)易知OGEC为正方形，OG＝GE＝EC＝OC＝6，∴G(6，0)，C(0，6).∴CG所在直线的解析式为y=-x+6.(2)①设OD＝m，则CD＝6-m，DE′＝OD＝m，AE′＝AO＝10.由勾股定理得BE′＝(AE′)2-AB2＝8，∴CE′＝2.又由勾股定理得(CE′)2+CD2＝(DE′)2，即4+(6-m)２＝m2解得m=103.∴D(0，103)，A(10，0).∴AD所在直线解析式为y=-13x+103.②∵E′F∥AB，设F(2，n)，∵点F在直线AD上，∴n=-13×2+103＝83.∴F(2，83).∵抛物线y=-112x2+h过点F(2，83).∴83＝-112×4+h，解得h=3.∴抛物线的解析式为y=-112x2+3联立方程组213,12110.33yxyx消去y得x2-4x+4=0.∵△＝0，∴抛物线与直线AD只有一个交点.(3)猜想：折痕所在直线与抛物线y=-112x2+3只有一个交点.验证：在图4-(1)中，折痕为CG，将y=-x+6代入y=-112x２＋３，得-112x2+x-3=0，∵△＝1-4×(-3)×(-112)＝0.∴折痕CG所在直线的确与抛物线y=-112x2+3只有一个交点.3交互形折叠它是三角形折叠与四边形折叠的组合.折叠的图形更为复杂，需要分清每一步折叠过程，综合应用勾股定理，相似形(包括全等形)、方程等思想方法.例5在长为4宽为3的矩形纸片ABCD中，先沿对角线BD对折，点C落在C′位置，BC′交AD于G(如图5-(1)).再折一次，使点D与点A重合，得折痕EN(如图5-(2))，EN交AD于M.求折痕EN的长.(1999年济南市中考题改编)分析由两点重合折叠过程知：AM＝DM＝12AD＝2，EN⊥AD，MN＝12AB＝32.又由沿矩形对角线折叠过程知：∠C′＝∠C＝90°，DC′＝DC＝3.易证Rt△EMD∽Rt△GC′D.∴''EMMDGCCD，得EM＝23GC′.易证Rt△GC′D≌Rt△GAB，∴C′G＝AG.在Rt△DGC′中，由勾股定理得：C′G2+32＝(4-C′G)2.解得C′G＝78，∴EM＝23×78＝712.∴EN＝EM+MN＝712+32＝2512.附：如下中考试卷中的折叠问题可供练习用：1如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E.下列结论不一定成立的是()A．AD＝BC′B．∠EBD＝∠EDBC．△ABE∽△CBDD．sin∠ABE＝AEED(2002年黑龙江省中考题)2将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是()(2003年陕西省中考题)A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形3将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线).继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕.那么对折四次可以得到条折痕.如果对折n次，可以得到条折痕.(2003年南宁市中考题)4已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点在E处，BE与AD相交于点O.写出一组相等的线段(不包括AB＝CD和AB＝BC).(2003年昆明市中考题)5如图，将ABCD沿AC折叠，点B落在B′处.AB′交DC于点M.求证：折叠后重合的部分(即△MAC)是等腰三角形.(2001年北京市崇文区中考题)6如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠一次(折痕与折叠后得到的图形用虚线表示).将得到的所有的全等三角形(包括实线、虚线在内)用符号写出来.(2002年宁夏回族自治区中考题)7已知:如图,矩形AOBC,以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上.点A坐标为(0，3)，∠OAB＝60°,以AB为轴对折后,使C点落在D点处,求D点坐标.(2002年青海省中考题)8已知：如图(1).矩形ABCD中，ADAB，O为对角线的交点，过O作直线分别交BC、AD于M、N.(1)求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积.(2)如图(2)，当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A点重合?(只写出满足的条件，不要求证明)(3)在(2)中条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的12，求BM∶MC的值.(2001年江苏省连云港市中考题)