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课时课时图形的测量知识要点梳理.平面图形的周长周长：封闭图形一周的长度。()长方形的周长(长宽)×()()正方形的周长边长×边长周长÷÷()圆的周长直径×圆周率π或π直径圆的周长÷圆周率÷π÷π÷()半圆的周长圆周长的一半直径π或π半径半圆的周长÷(圆周率)÷(π).平面图形的面积()长方形的面积长×宽()正方形的面积边长×边长()平行四边形的面积底×高()三角形的面积底×高÷÷()梯形的面积(上底下底)×高÷()÷()圆的面积圆周率×半径的平方π()圆环面积大圆面积小圆面积大圆小圆π()(为大圆半径，为小圆半径).立体图形的表面积()长方体的表面积(长×宽长×高宽×高)×()()正方体的表面积棱长×棱长×()圆柱的表面积圆柱的侧面积个底面的面积表侧底×圆柱的侧面积底面周长×高侧ππ.立体图形的体积()长方体的体积长×宽×高或底()正方体的体积棱长×棱长×棱长或底()圆柱的体积底面积×高底或π()圆锥的体积×底面积×高底或π.图形间的关系()面积相等的长方形(或平行四边形)和三角形，当它们等底时，三角形的高是长方形高的倍。()长方体的棱长总和一定时，长、宽、高越接近，长方体的体积就越大，表面积也就越大。()当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的倍；当圆柱和圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的倍当圆柱和圆锥等高等体积时，圆锥的底面积是圆柱底面积的倍。答案：平方厘米精析：此题考察“外方内圆”中圆面积的求法,如图所示：用正方形纸剪的最大的圆的直径等于正方形的边长，所以所剪的圆的面积为π(10÷2)2=25π=78.5(平方厘米)。典例精析及训练题型一【例】用一张边长为厘米的正方形纸，剪一个最大的圆，所剪的圆的面积是()。举一反三.如图，在一个直径为厘米的圆内剪一个最大的正方形，正方形的面积占圆面积的几分之几？20÷2＝10(厘米)20×10××2＝200(平方厘米)10×10×3.14＝314(平方厘米)200÷314≈63.7%答：正方形的面积约占圆面积的63.7%。12.如图，圆的周长是厘米。正方形的周长是多少？÷×＝(厘米)答：正方形的周长是厘米。.从一张长厘米、宽厘米的长方形纸片上剪下一个最大的正方形，求这个正方形的周长。正方形的边长＝厘米×＝(厘米)答：这个正方形的周长是厘米。题型二【例】如图，从一张硬纸板上剪下两个长方形和两个正方形后，用剩余部分做成一个有盖的长方体盒子。若剪下的正方形边长为厘米，则做成长方体盒子的容积为()立方厘米。精析：观察图形可知，做成的这个长方体盒子的长是厘米，高是厘米，由此根据厘米是个高的长度与两个宽的长度之和，可以求出这个长方体盒子的宽是：÷－＝(厘米)，所以可得做成的长方体盒子的容积为××＝(立方厘米)。答案：举一反三.做一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体框架，至少要用()厘米的铁丝；如果用彩纸把这个框架包起来，至少要()平方厘米的彩纸。.如图是一个正方体的展开图，求这个正方体的表面积和体积。表面积：××体积：××答：这个正方体的表面积是，体积是。.用一张边长厘米的正方形纸，裁剪粘贴成一个无盖的长方体盒子(不考虑损耗及接缝)，要使它的容积大于立方厘米。请画出裁剪草图、标明主要数据(画出一种情况)，并求出盒子的容积是多少立方厘米？画图略－×＝(厘米)××＝(立方厘米)答：盒子的容积是立方厘米。题型三【例】一个高为厘米的圆柱体，如果它的高增加厘米，那么它的表面积增加平方厘米，求这个圆柱的体积。答案：底面半径：÷÷÷＝(厘米)圆柱体积：××＝(立方厘米)精析：圆柱的高增加厘米时，增加的表面积就等于底面积不变、高为厘米的圆柱的侧面积，用侧面积÷算出周长，然后算出底面积，就可以求出圆柱的体积了。举一反三.将一根长米的圆柱形木料锯成段，表面积增加平方分米。这根木料的体积是()立方分米。.如图是一个圆柱体，如果把它的高截短厘米，它的表面积就减少平方厘米。这个圆柱体积减少多少立方厘米？÷÷÷(厘米)××(立方厘米)答：这个圆柱体积减少立方厘米。题型四【例】在一个棱长厘米的正方体容器中放入一个圆锥形铁块，铁块完全浸没后发现水面由原来的厘米上升到厘米，圆锥形铁块的体积是多少？答案：××（）（立方厘米）精析：这是等积变形的一类题，要求圆锥形铁块的体积，就是求水面上升的高度对应水的体积。举一反三.把一块棱长厘米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高大约是（）厘米。（得数保留整厘米数）.把一个底面直径厘米的圆锥形铁块放入底面直径是厘米的圆柱体容器中，容器中的水面比原来上升了厘米，这个圆锥体有多高？÷（厘米）×××（立方厘米）÷（厘米）×÷（××）（厘米）.一个棱长为厘米的正方体容器，水深厘米，把一个底面积平方厘米，高厘米的圆锥形铁块放入水中，水会溢出多少立方厘米？×÷（立方厘米）××()（立方厘米）（立方厘米）差错类型及归纳类型对“一昼夜”一词理解不正确。【例】一座大钟分针长分米，它的尖端在一昼夜里走过的路程是多少分米？错解：××××(分米)答：它的尖端在一昼夜里走过的路程是分米。分析：只知道利用求圆的周长的知识来解决，但对“一昼夜”这个词不理解或是没仔细审题，所以只计算出了一个白天所走过的周长，忽视了一昼夜是小时。正解：××××(分米)答：它的尖端在一昼夜里走过的路程是分米。类型对表面积知识的综合运用掌握不熟练。【例】一圆柱形水池，底面半径米，高米，沿这个水池的四周及底部抹水泥。如果每千克水泥可涂平方米，共需多少千克水泥？错解：××＝(²)×××＝(²)＋＝(²)÷＝(千克)分析：此题主要是错在没有考虑到水池是没有上面的盖的，只要给一个底面加一个侧面抹水泥就行了，考虑问题欠周到。正解：π×＝(²)××π×＝(²)＋＝(²)÷＝(千克)类型对图形的空间想象能力较差。【例】将一根长米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了平方米。原来这根圆木的表面积是多少？错解：÷÷(米)××××(平方米)分析：由于学生空间想象能力的差异，有些学生无法想象沿着直径劈成两半或沿着横截面切成几段各自增加的表面是什么形状的，无法想象问题的具体表象而出错。正解：÷÷÷(米)××××(平方米)针对性练习一、填一填。.一个钟表的分针长，从时走到时，分针尖端走过了()。.把一个底面积是平方厘米的圆柱，切成两个同样大小的圆柱，表面积增加了()平方厘米。.一个挂钟的时针长厘米，这个挂钟的时针尖端一昼夜走()厘米。.用一根长米的绳子将一只羊拴在一根木桩上，这只羊最多能吃到()平方米的草。.把一个直径为厘米，高为厘米的圆柱，沿底面直径切割成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？算式是()××二、解决问题。.一个长方体蓄水池长８米，宽４米，深３米，这个蓄水池占地面积是多少？在池底和四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少？水池的最大蓄水量是多少？×＝（平方米）＋（８×３＋４×３）×２＝１０４（平方米）４×８×３＝６（立方米）答：这个蓄水池占地面积是３２平方米，抹水泥的面积是１０４平方米，水池的最大蓄水量是９６立方米。.一根长米，底面半径是厘米的圆柱形木段，把它锯成同样长的根圆柱形的木段。表面积比原来增加了多少平方厘米？（－）×＝（个）×××＝（平方厘米）答：表面积比原来增加了平方厘米。小考复习训练一、选择题。.把一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体截成两个长方体，表面积最多增加()平方厘米。..把一个底面积是平方厘米，高是厘米的圆锥形容器装满水，倒入与它等底等高的圆柱形容器中，水深()厘米。.下图中四个长方形的面积相等，其中阴影部分的面积()。.有两个相等.有三个相等.全部相等.全部不相等.面积相等的长方形、正方形、圆形三个图形中，周长最大的是（）。.长方形.正方形.圆形.无法判断.一个正方体棱长缩小到它的，那么体积缩小到原来的()。....31319161271二、判断题。(正确的在后面画“√”，错误的画“×”).正方形的边长、周长和面积都成正比例。（）.把一个长方形拉成一个平行四边形，它们的面积相等。（）.如果长方形、正方形、圆它们周长相等，那么圆的面积最大。().两个完全一样的梯形可以拼成一个长方形。().半圆的周长大于与它等半径的圆周长的一半。（）×××√√.等腰梯形只有一条对称轴。().圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的。（）.圆柱的底面半径扩大倍，高也扩大倍，体积就扩大倍。().圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。().两个圆柱侧面积相等，它们的底面周长也相等。()××√√√31三、填空题。.三角形的三个内角度数比是∶∶，三个内角的度数分别是（）度，（）度，（）度。.右图是正方体展开图，与字母相对的面是数字（）。.正方体的棱长扩大倍，棱长总和扩大（）倍，表面积扩大（）倍，体积扩大（）倍。.用三根同样长的铁丝，分别围成长方形、正方形、圆，()的面积最大，()的面积最小。圆长方形.等底等高的圆柱和圆锥体积之和是立方厘米，那么圆柱的体积是()立方厘米，圆锥的体积是()立方厘米。.一个长方体棱长和为厘米，它的长、宽、高的比是∶∶，它的表面积是()平方厘米，体积是()立方厘米。.圆锥体容器高厘米，里面盛满水。如果将水全部倒入与它等底等高的圆柱体容器中，则水深()厘米。.一个环形，外圆半径是分米，内圆半径是分米，它的面积是()平方分米。.把棱长为分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是()立方分米。.自来水管的内直径是厘米，水管内水的流速是每秒厘米，一位同学去水池洗手，走时忘了关掉水龙头，分钟浪费了()升水。.一个环形，外圆半径是分米，内圆半径是分米，它的面积是（）平方分米。.把棱长为分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是()立方分米。.自来水管的内直径是厘米，水管内水的流速是每秒厘米，一位同学去水池洗手，走时忘了关掉水龙头，分钟浪费了（）升水。四、操作题。.画出与下面三角形的面积相等的长方形。略五、解决问题。.求右边图形的周长。(单位：厘米).计算下列图形的表面积和体积。(单位：厘米)()()()(＋＋)×(厘米)()表面积：××(平方厘米)体积：××(立方厘米)()表面积：(×＋×＋×)×(平方厘米)体积：××(立方厘米)()表面积：×()×＋××(平方厘米)体积：×()×(立方厘米)210210.小明新买一支净含量毫升的牙膏，牙膏的圆形出口的直径是毫米。他早晚各刷一次牙，平均每次挤出的牙膏长约毫米，估计这支牙膏能用多少天？÷(毫米)毫升立方毫米÷(×××)≈(天)答：估计这支牙膏能用天。.一个人摇转长柄，就可以把水桶从井口放到水面。已知缠绕绳子的木柱的半径是厘米，木柱旋转了周。这口井的水面距井口多少米？×××(厘米)厘米米答：这口井的水面距井口是米。[××(÷)×]÷(×)÷（米）答：可以铺米厚。.一个圆锥形沙堆，底面直径是米，高米，如果把这堆沙子均匀地铺在长米，宽米的路面上，可以铺多厚？.如图，学校操场的跑道由正方形的两条对边和两个半圆组成。小明在操场上跑了圈，一共跑了多少米？(××)×(米)答：一共跑了米。.一个用塑料膜搭建的蔬菜大棚(如图)，长米，横截面是直径为米的半圆。()这个大棚的占地面积是多少？×(平方米)答：这个大棚的占地面积是平方米。()搭建这个大棚需要用多少塑料膜？×(÷)××÷(平方米)答：搭建这个大棚需要用平方米塑料膜。六、求下列图形中阴影部分的面积。(单位：厘米).×＋×＝(平方厘米)××(平方厘米)×(平方厘米)(平方厘米)..正方形面积是平方厘米。设圆的半径为。因为正方形的面积为平方厘米，所以²。所以阴影部分的面积为：－²＝－×＝(平方厘米)π4π44.×(4＋10)×4－×π×4²＝28－4×3.14＝15.44(平方厘米)2141