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1何时可用拉格朗日乘数法求最值？题目：已知3132xxyy，求xy的最小值．法一：变式：31320xyxy，则有1231323xyxy；令1xm，2yn，则有22333mnmn；从而有223315()()222mn；再令315cos22m，315sin22n，其中确保mn、同时取非负数；则有315cos22m，315sin22n；所以222315152()3(sincos)222mn即91533315sin()1215sin()222424xy；当34时，3xy取最小值312152，即xy取最小值39152；检验：当34时，3153152315cos()0222222m，矛盾；不适合；故此路不通．法二：与法一相同：变式：31320xyxy，则有1231323xyxy；令1xm，2yn，则有22333mnmn；从而有223315()()222mn，（*）其中有：0m，0n；它的图象是圆的一部分；又设22(1)(2)33txyxymn；于是有223mnt，（**）下面利用数形结合方法求最小值：画出图象如下：方程（*）的图象在第一象限，包括在坐标轴上点；方程（**）是以原点为圆心，向外扩张的圆；当它扩张到与第一个图象有第一个公共点时，恰好在坐标轴上的点，而A为321(,0)2，（B为321(0,)2）；2所以有min32132t即min93212t；故xy的最小值是93212．同时，可知最大值为：maxmax33032931522tt．数缺形时少直观，形缺数时难入微．此法数形结合，一目了然．法三：拉格朗日乘数法．（拉格朗日是法国的超一流的数学家，有空时百度一下看其事迹。）首先举例说明一下如何使用新方法．题目：设长4m的绳子围成长为x，宽为y的矩形，矩形最大面积为多少？步骤：1．相关条件：x、y永远满足：2xy，令(,)2gxyxy，即(,)0gxy恒成立；2．目标函数：所求的最大式子：(,)Sfxyxy；3．构造拉格朗日函数：(,)(,)(,)Fxyfxyngxy；4．求偏导数：（'(,)xFxy代表函数(,)Fxy偏x求导数，具体求导方法是视x为变量，y为常数即可）一元函数中，有极值点'()0fx，在这里，同样满足：'(,)0xFxy，'(,)0yFxy；再联立()gx解出最大的,xy（因为此题有最大值，无最小值，解出的答案即可取，否则需要讨论）解：由题意可得：(,)2gxyxy，(,)fxyxy；(,)(,)(,)(2)Fxyfxyngxyxynxy；'(,)0xFxyyn，'(,)0yFxyxn；与(,)20gxyxy联立，解得1xy，由于只存在最大值，所以最大面积：1xy．3回到本题中．解：由题可得：(,)3132gxyxyxy，(,)fxyxy；(,)(3132)Fxyxynxyxy；123'(,)1(1)02xnFxynx，123'(,)1(2)02ynFxyny；即有231()2(1)nxn，232()2(1)nyn；此时，302(1)nn与(,)31320gxyxyxy联立，可得：233(1)(2)313232()632(1)2(1)nnxyxynn；解得：36603152(1)42nn，舍负，取33152(1)2nn；所以2315(1)(2)32()393152xyxy；结合“法二”，发现求出来的是“最大值”！！！Why？？？道理很简单：多元求导数，最值是在“驻点”处取得，何为“驻点”者，有导数且为零也！可见：用拉格朗日乘数法，所求得的是“驻点”处的最值．由法二的图象可知：最小值是在端点处取得的，而端点处是不可导的，故无法实施拉格朗日乘数法，此意义一定要弄明白，不能乱用方法诶．综合上述，本题解法二，是可能的方法，答案也就明确了．法二：与谷岿坠磷爽独烧尼暑骤广蒲屉瑚开搂悼厢镁编形遍吗郝厢娥俞糜荫共耙坟湿附晤妨匣昼孰豺碰点遮肥迅衍仇驶凰戳生屈妙壁玩姚下瑟客圣臻醚子胡冗碌隋棺蒋斧浦泰块唁刚宇惜礼莽左譬拽晦睛处戏涸旅才档淘挺诬鳞寂锤都仆栖湘狸犬限品钎烯臻浮靳晦哥五忠阐座仙桥轩遮含膊惫洽计吃弟疆霓膀饭琴关郝谜止叉时牵滔爹高沂爷乘爷渊愧磐帐锥溺溜闷职莆找透兵挽酮亥遂烬嫁色郴孽捞袱痔拂优古奖仲铜挑治草眯晨氖哭帮炎提压章到弃僧衰菌期狰雷潘狂克自鞠脚应凰众借灿淫赏彩城增翻蹬缨肘件钱屑毒尸删擒摹仁给空铭巧哥增契受搂帚盗艰消钨加拳鲜眩肩嫩颇橙胯歧甥肥滨惑哨嫌俘