2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答

2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答1/112019—2020学年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝5，那么AC等于（）A．5tanB．5cosC．5sinD．5cosA．5tanB．5cosC．5sinD．5cos2．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sinA＝52B．cosA＝23C．sinA＝21313D．tanA＝2553．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定4．当锐角A的cosA＞22时，∠A的值为（）A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝513，则sinA的值为（）A．512B．813C．23D．12136．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝13，则sinB的值为（）A．13B．223C．24D．227．如果22sincos301，那么锐角α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝22，cosB＝12，则△ABC的形状是（）第1题图第2题图2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答2/11A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．锐角三角形或钝角三角形9．下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容：题目测量树顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据AB＝10m，α＝45°，β＝56°设树顶端到地面的高度DC为xm，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（）A．x＝（x﹣10）cos56°B．x＝（x﹣10）tan56°C．x﹣10＝xtan56°D．x＝（x+10）sin56°10．如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（）（参考数据：21.4，3≈1.7）A．7米B．14米C．20米D．40米二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．在△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＞cosA，那么∠A的度数范围是．12．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝43，则sinA+cosA＝．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB＝2：3，那么a：b等于．14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答3/1115．已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α）＝3，则α＝．16．在Rt△ABC中，2sin（α+20°）＝3，则锐角α的度数为．17．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为米．（结果保留根号）18．如图，一棵与地面垂直的笔直大树AB，在C点处被大风折断后，AC部分倒下，树的顶端A斜坡DF上的点G重合（BC、CG都保持笔直），经测量DG＝2米，BD＝3米，∠EDF＝30°，∠CGD＝60°，则树高AB为米．（保留根号）三．解答题（共7小题，满分46分，19、21每小题5分，20题6分，22、23、24每小题7分，25题9分）19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．20．计算：（1）2cos30°+tan30°•cos60°﹣2(1tan60)（2）2|1﹣sin60°|+tan45tan602cos45．21．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝43，求sinA﹣sinB的值．22．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．第14题图第17题图第18题图第19题图2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答4/11（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．23．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan15°的值（结果保留根号）．24．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：3，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，cos53°≈0.60）25．某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．（1）求E，A两地之间的距离；（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答5/11（参考数据：sin37°＝35，cos37°＝45，tan37°＝34）2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答6/112019—2020学年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题参考简答一．选择题（共10小题）1．B．2．D．3．A．4．A．5．D．6．A．7．A．8．C．9．B．10．B．二．填空题（共8小题）11．45°＜∠A＜90°．12．75．13．2：3．14．①②③④．15．60°．16．40°．17．43﹣4．（结果保留根号）18．33+4米．（保留根号）三．解答题（共7小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．【解】：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5，∴BC＝＝＝4，又AC＝AD+CD＝8，∴AB＝＝＝45，则sinA＝＝＝55，cosA＝ACAB＝845＝255，tanA＝BCAC＝48＝12．20．计算：（1）2cos30°+tan30°•cos60°﹣2(1tan60)2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答7/11（2）2|1﹣sin60°|+tan45tan602cos45．【解】：（1）原式＝2×32+33×12﹣3+1＝36+1．（2）原式＝2（1﹣32）+12322＝2﹣3+＝2﹣3+3+2＝2+2．21．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝43，求sinA﹣sinB的值．【解】：∵sinA+sinB＝43，∴（sinA+sinB）2＝169，∴sin2A+sin2B+2sinA•sinB＝169，∵sinB＝cosA，∴sin2A+cos2A+2sinA•sinB＝169，∴2sinA•sinB＝79，∴（sinA﹣sinB）2＝1﹣79＝29，∴sinA﹣sinB＝±23．22．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答8/11【解】：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝PEBP＝sin40°在Rt△BPF中，sin∠FBP＝PFBP＝sin20°又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝PEBP＝sinα，sin∠FBP＝PFBP＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．23．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan15°的值（结果保留根号）．【解】：∵∠A＝15°，∠BDC＝30°，∴∠ABD＝15°，∴AD＝BD，设BC＝x，在Rt△BDC中，∵∠BDC＝30°，∴BD＝2x，∴DC＝＝3x，∴AD＝BD＝2x，AC＝AD+DC＝2x+3x＝（2+3）x，在Rt△ABC中，tan15°＝＝＝2﹣3．2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答9/1124．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：3，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，cos53°≈0.60）【解】：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝13＝33，∴∠BAH＝30°，∴BH＝12AB＝5米；∴AH＝53米，∴BG＝AH+AE＝（53+21）米，Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝（53+21）米．Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝43AE＝28米．2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答10/11∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+53﹣28＝（53﹣2）m．答：宣传牌CD高为（53﹣2）米．25．某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．（1）求E，A两地之间的距离；（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？（参考数据：sin37°＝35，cos37°＝45，tan37°＝34）【解】：（1）如图，作CH⊥AD于H．由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，∵点C是AB的中点，CH∥BD，∴AH＝HD＝（x+15）千米，在Rt△ACH中，tan37°＝，∴34＝，∴x＝45，2019—2020年湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答11/11∴CH＝45（千米），AH＝60（千米），AD＝120（千米），∴EA＝AD﹣DE＝120﹣15＝105（千米）．（2）在Rt△ACH中，AC＝＝75（千米），∴AB＝2AC＝150（千米），∵150÷53＝90千米/小时，∵90＜100，∴校车没有超速．