运筹学-动态规划

清华大学出版社管理运筹学教程第三章动态规划清华大学出版社图3-1清华大学出版社名词解释阶段，用k表示。状态、状态变量，用Sk表示，通常是集合决策、决策变量，通常用uk或xk表示。状态转移及其方程：过程与子过程策略与子策略：指标函数与最优值函数：nkp,),(,,nkknkpSV),(1kkkkuSTS),()(,,,,nkknkPpkkpSVSfoptnknk),()(,,,,nkknkPpkkpSVSfoptnknk清华大学出版社二、最优化原理与动态规划的基本方法Bellman原理动态规划的基本方法逆向顺序法前向顺序法清华大学出版社Bellman原理示意图整个问题最后一步部分优化最后两步部分优化整个问题优化清华大学出版社逆向顺序法求解例3-2AB1B2B3C1C2C3D1D2E4956487689356213430437559111313清华大学出版社第二节动态规划建模与求解步骤建立动态规划模型的基本要求动态规划的求解步骤清华大学出版社一、建立动态规划模型的基本要求将问题划分成若干阶段。有的问题的阶段性很明显，有的则不明显，需要分析后人为假设。确定各阶段的状态变量，并给出状态转移方程，状态转移方程的形式应当与递推顺序一致。状态变量应当满足无后效性要求。明确指标函数，给出最优函数递推方程，递推方程的形式应当与递推顺序一致。清华大学出版社二、动态规划的求解步骤正确划分阶段。确定状态变量和决策变量，并给出状态变量和决策变量的可行集合。确定求解的递推顺序，给出状态转移方程。确定阶段、子过程(子策略)的指标函数，确定最优值函数的递推方程和边界条件。递推求解。与递推过程反向求出最优策略(最优决策变量值系列)和最优状态变化路线。清华大学出版社第三节动态规划的应用举例定价问题资源分配问题生产存储问题清华大学出版社一、定价问题某公司考虑为某新产品定价，该产品的单价拟从每件5元、6元、7元和8元这四个中选取一个，每年允许价格有1元幅度的变动，该产品预计畅销五年，据预测不同价格下各年的利润如表3-1所示。清华大学出版社表3-2每年预计利润额单价第一年第二年第三年第四年第五年5元6元7元8元1012141612131415151616152020181425241814清华大学出版社建立数学模型按年划分阶段，k=1,2,...,5每阶段的状态变量为本年(上一年已确定)的价格，状态变量的可行集合Sk=(5,6,7,8)。决策变量为每年依据当年价格为下一年度决定价格，根据题意决策变量的可行集合是：采用逆序算法，因此状态转移方程是最优值函数递推方程为)1,,1(kkkkSSSu)(1kkkSuS)}()({max)(11kkkkukkSfudSfk清华大学出版社进行各阶段的计算采用逆序法，设当k=5时，S5=(5,6,7,8)，由表3-1得到当k=4时，S4=(5,6,7,8)，由递推方程得0)(66Sf14)8(,18)7(,24)6(,25)5(5555ffff)}()({max)(5544444SfudSfu5)5(,4524202520max)6()6()5()5(max)5(454544ufdfdf清华大学出版社继续求解8)8(,92)8(,8)7(,90)7(,7)6(,87)6(6)5(,84)5(,17)8(,76)8(,7,6)7(,75)7(,7,6)6(,74)6(6)5(,73)5(,27)8(,57)8(,6)7(,61)7(,6,5)6(,61)6(6,5)5(,60)5(,37)8(,32)8(,6)7(,42)7(,5)6(,45)6(111111112222222233333333444444ufufufufkufufufufkufufufufkufufuf时当时当时当清华大学出版社反推得最优路线按照与求最优值函数方向相反的顺序求最优状态路线：最优决策变量。即从第一年单价应为8元开始，向后推算。得第二年定价8元，第三年定价7元，第四年定价6元，第五年定价5元。最大利润值为92万元。清华大学出版社用决策图求解10121520251213162024141416181816151514145元6元7元8元2524181445454232606161577374757684879092清华大学出版社二、资源分配问题某公司将5台加工中心分配给甲、乙、丙、丁四个工厂，各工厂或设备后可产生如表3-2所示的利润，应怎么分配设备可使公司总利润最大？清华大学出版社工厂设备数甲乙丙丁012345067101215037912130510111111046111212清华大学出版社建立数学模型按工厂次序划分阶段，k=1，2，3，4状态变量为各阶段可用于分配的设备总台数决策变量是分配给第k工厂的设备数采用逆序算法，状态转移方程最优值函数递推方程kkkxSS10)()}()({max)(5511SfSfudSfkkkkukkk清华大学出版社第4阶段的最优解当k=4时，S4=(0,1,2,3,4,5)0123450123450461112120461112120123454S4u),(444Sud)(44Sf)(4*4Su清华大学出版社第3阶段的最优解当k=3时，S3=(0,1,2)0000000101054045512012051064069101023S3u),(333Sud)(334uSf*3u33fd)(33Sf清华大学出版社第3阶段的最优解（续）当k=3时，S3=33012305101111640111114111423S3u),(333Sud)(334uSf*3u33fd)(33Sf清华大学出版社第3阶段的最优解（续）当k=3时，S3=44012340510111112116401216161511161，23S3u),(333Sud)(334uSf*3u33fd)(33Sf清华大学出版社第3阶段的最优解（续）当k=3时，S3=5501234505101111111212116401217211715112123S3u),(333Sud)(334uSf*3u33fd)(33Sf清华大学出版社第2阶段的最优解当k=2时，S2=(0,1,2)0000000101035053502012037105010871002S2u),(222Sud)(223uSf*2u22fd)(22Sf清华大学出版社第2阶段的最优解（续）•当k=2时，S2=330123037914105014131291402S2u),(222Sud)(223uSf*2u22fd)(22Sf清华大学出版社第2阶段的最优解（续）•当k=2时，S2=4401234037912161410501617171412171，22S2u),(222Sud)(223uSf*2u22fd)(22Sf清华大学出版社第2阶段的最优解（续）•当k=2时，S2=55012345037912132116141050211921191715210，22S2u),(222Sud)(223uSf*2u22fd)(22Sf清华大学出版社第1阶段的最优解（续）•当k=1时，S1=5501234506710121521171410502123212017152311S1u),(111Sud)(112uSf*1u11fd)(11Sf清华大学出版社第4阶段的最优解当k=4时，S4=(0,1,2,3,4,5)012345012345046111212046111212012345清华大学出版社反向求最佳状态路线0,10,122,32,141*44*33*22*1uSuSuSu由方案一方案二工厂名分配设备数工厂名分配设备数甲乙丙丁1121甲乙丙丁1220清华大学出版社三、生产存储问题某公司生产并销售某产品。根据市场预测，今后四个月的市场需求量如表3-7所示。时期（月）需求量（dk）12342324清华大学出版社已知的其它条件已知生产一件产品的成本是1千元，每批产品的生产准备成本是3千元，每月仅能生产一批，每批6件。每件存储成本为0.5千元，且第一个月初无存货，第四个月末的存货要求为零。求最优（最低成本）生产与存储计划。设第k月的生产量uk，存储量为Sk,则总成本为kkkkkSuuSC5.003),(清华大学出版社建立数学模型以月划分阶段，k=1,2,3,4各阶段决策变量为该阶段生产量uk，状态变量为该阶段存储量Sk。采用逆序算法，则状态转移方程为最低成本递推公式是kkkkduSS10)()}(),({min)(551160SfSfuSCSfkkkkkduSukkkkkk清华大学出版社第四阶段的最优解当k=4时，d4=4,因地四阶段末无存货，因此S4=(0,1,2,3,4)S4u4本期成本C4S5f5(S5)f4(S4)生产存储01234432107654000.511.5276.565.52000000000076.565.52清华大学出版社第三阶段最优解当k=3时，由于，且第三阶段需求量d3=2，S3=(0,1,2,3,4,5,6)44SS3u3本期成本C3S4f4(S4)f3(S3)生产存储0234565678900000567890123476.565.521212.51313.511清华大学出版社第三阶段最优解:S3=1S3u3本期成本C3S4f4(S4)f3(S3)生产存储112345456780.50.50.50.50.54.55.56.57.58.50123476.565.5211.512.012.513.010.5清华大学出版社第三阶段最优解:S3=2S3u3本期成本C3S4f4(S4)f3(S3)生产存储2012340456711111156780123476.565.52811.512.012.510.0清华大学出版社第三阶段最优解:S3=3,4S3u3本期成本C3S4f4(S4)f3(S3)生产存储3012304561.51.51.51.51.55.56.57.512346.565.52811.512.09.5401204522226723465.52811.59清华大学出版社第三阶段最优解:S3=5,6S3u3本期成本C3S4f4(S4)f3(S3)生产存储501042.52.52.56.5345.5288.560033425清华大学出版社第二阶段最优解当k=2时，d2=3，由于最生产能力为6，而d1=2，因此S2=(0,1,2,3,4)S2u2本期成本C2S3f3(S3)f2(S2)生产存储03456678900006789012311.010.58.08.01717.51617清华大学出版社第二阶段最优解:S2=1S2u2本期成本C2S3f3(S3)f2(S2)生产存储123456567890.50.50.50.50.55.56.57.58.59.50123411.010.58.08.08.016.51715.516.517.5清华大学出版社第二阶段最优解:S2=2S2u2本期成本C2S3f3(S3)f2(S2)生产存储2123456456789111111567891001234511.010.58.08.08.08.016.016.515.016.017.018.0清华大学出版社第二阶段最优解:S2=3S2u2本期成本C2S3f3(S3)f2(S2)生产存储3012345604567891.51.51.51.51.51.51.51.55.56.57.58.59.510.5012345611.010.58.08.08.08.05.012.516.014.515.516.517.515.5清华大