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β=90º－α或１２β=90º＋α１２90º-α１２∠BOD=∠COD=90º－∠AOC；１２αABOCD∠AOD=90º＋∠AOC．１２若OD平分∠BOC，90º-α１２∠BOD=∠AOC=90º－∠COD；１２αABO∠AOD=90º＋∠COD．１２若∠BOD=∠AOC，CD90º-α１２∠BFC=90º＋∠A；(图1)１２∠BFC=90º－∠A．(图2)１２若△ABC的内(外)角平分线相交于点F，ABCDEFABCEDF∠ABC=90º－∠A；１２∠ACD=90º＋∠A．１２△ABC中，AB=AC，ABCDADCB共顶的半角的余角∠CAD=90º－∠BAC１２∠BAD=90º＋∠BAC；１２∠BAE=∠CADADCBEADCBE延长DA镜面角角分线延长BA∠EAD=∠CAD或翻折F例1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E在AB边上，CE平分∠ACB，且∠AEC＝45º，若BD＝6，CD＝4，求AB的长.ABCDEαα45º90º－2α45º－α45º＋α45º＋α6468x8－xx例2.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠CAD＝2∠ACB，E在BC边上，且∠CDE＋∠ADC＝180°，若DE⊥AC，AB＝2，求CE的长.2αα90º－α90º－2α45º＋α45º－α45º＋α90º－α24∠ABC=90º－∠A，则AB=AC；１２∠ACD=90º＋∠A，则AB=AC.１２ABCD等腰顶角2α180º－2α90º＋2α90º－2α底角90º－αα45º－α45º＋α顶角60º＋2α60º－2α120º＋2α120º－2α底角60º－α60º＋α30º－α30º＋α例3.如图，在正△ABC中，D在BC延长线上，E在AD边上，且∠CAD＝2∠DBE，BE、AC相交于F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_____________．ABCDEFαα260º60ºα－60ºα－60ºα＋60ºα2－绝配角把∠ADB看作顶角构等腰：1.在DB上截取DG=DE=2.60º60ºα＋ABCDEF60ºα－G2230º30º1160ºα2－60ºα＋60ºα＋把∠ADB看作顶角构等腰：1.在AD上截取DG=DC.60º60ºα＋ABCDEFG231160ºα2－60ºα＋把∠ADB看作顶角构等腰：1.在DB上截取DG=DA.60º60ºα＋ABCDEF231160ºα2－60ºα＋Gx把∠AFB看作底角构等腰60ºABCDEF23x160ºα2－60ºα＋xG60ºα2－x+23x+3把∠AFB看作底角构等腰ABCDEF2160ºα2－60ºα＋60ºα2－3G21.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F在AE上，且AF＝AD，过点F作FG⊥FD，FG交AB于G，若AG＝2，EF＝1，求BG的长．ABDCGEF21290º2－45º＋ABDCGEF2145º45ºxxx+21N1.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F在AE上，且AF＝AD，过点F作FG⊥FD，FG交AB于G，若AG＝2，EF＝1，求BG的长．ABDCGEF21Nxxx+1ABDCGEF21xx+11x+2NABCDE2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝90º－∠CAD，AC、BD相交于E，且∠BEC＝60º，若AD＝5，BD＝15，求AC的长.12－290º－290º－2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝90º－∠CAD，AC、BD相交于E，且∠BEC＝60º，若AD＝5，BD＝15，求AC的长.12－ABCDE60ºF2x552x15x15-xH60º由FD2-HD2=FB2-HB2，得(2x)2-x2=(2x+5)2-(15-x)2，3.如图，△ABC中，∠BAC＝120º，D在BA的延长线上，且∠ACD＝∠ACB，若AC＝8，BD＝9，求BC的长．12－ABCD120º60º－2260º+3.如图，△ABC中，∠BAC＝120º，D在BA的延长线上，且∠ACD＝∠ACB，若AC＝8，BD＝9，求BC的长．12－60ºABCD120º2EFxx82x+993.如图，△ABC中，∠BAC＝120º，D在BA的延长线上，且∠ACD＝∠ACB，若AC＝8，BD＝9，求BC的长．12－60ºABCD120º2Fx82x+99Gx+92x+94.如图，△ABC中，∠ABC＝60º，D为AC中点，E在BC上，且∠BAE＝∠ABD，若BD－AB＝1，BE＝2，求CE的长．12－ABCDE60º－2260º+4.如图，△ABC中，∠ABC＝60º，D为AC中点，E在BC上，且∠BAE＝∠ABD，若BD－AB＝1，BE＝2，求CE的长．12－ABCDE2FGHxx22x+42x+54x+103x+102x+8F85.如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90º，过点A作AE⊥BC，垂足为E，且AE＝BC，若BD平分∠ABC，CD＝8，BE＝5，求CE的长．ABDCE90º－851312ABDCE85513F6.在△ABC中，∠ACB＝90º，D在AB边上，BD＝BC，E在BC的延长线上，且∠CDE＝45º，连接DE交AC于F，若AD＝1，EF＝，求BC的长．√5ABCDEF设∠B=2，则∠A=90º－2，所以AF=AD=1，∠BAC=2∠E易求，∠AFD=45º+=∠ADF∠BED=45º，－Gx11x+11√5GABCDEF7.如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DAC＝2∠ABE，若AD＝5，BE＝10，求CF的长.√5ABCEDF2设∠ABE=，则∠CAD=2，所以DB=DF，所以∠BEC=45º+∠ADC=90º－2，所以∠DFB=45º-=∠DBF，G√5510xx√55-7.如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DAC＝2∠ABE，若AD＝5，BE＝10，求CF的长.√5ABCEDF2G8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝60º，∠BAC＝3∠ACD，若AD＝1，BC＝5，求AB的长．ABCDFEG11xx2x+552x+29.△ABC为等边三角形，D为AB上一点，点E为CD延长线上一点，CE＝CB，连接BE并延长交AC于点F，若CF＝12，CD＝7，求AC的长．ABCDEFGABCDEFG9.△ABC为等边三角形，D为AB上一点，点E为CD延长线上一点，CE＝CB，连接BE并延长交AC于点F，若CF＝12，CD＝7，求AC的长．ABCDEFGABCDEFG10.如图，△ABC中，∠ACB＝90º，D在BC边上，且∠B=2∠CAD，E在AB边上，且∠ADE＝∠ADC，若CD＝5，BE＝12，求BD的长.10.如图，△ABC中，∠ACB＝90º，D在BC边上，且∠B=2∠CAD，E在AB边上，且∠ADE＝∠ADC，若CD＝5，BE＝12，求BD的长.10.如图，△ABC中，∠ACB＝90º，D在BC边上，且∠B=2∠CAD，E在AB边上，且∠ADE＝∠ADC，若CD＝5，BE＝12，求BD的长.