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数 学时量：１２０分钟 满分：１００分 一、选择题：本大题共１０小题，每小题４分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知集合犃＝｛狓｜狔＝槡狓｝，犅＝｛狓｜－１≤２狓－１≤３｝，则犃∩犅＝（ ）Ａ．［０，１］Ｂ．［１，２］Ｃ．［０，２］Ｄ．［１，３２］ ２．若实数３，犪，５成等差数列，则犪的值是（ ）槡Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．１５ ３．图象不经过第二象限的函数是（ ）Ａ．狔＝２狓Ｂ．狔＝－狓Ｃ．狔＝狓２Ｄ．狔＝ｌｎ狓 ４．ｔａｎ１３π３的值是（ ）Ａ．－槡３３槡Ｂ．－３Ｃ．槡３３槡Ｄ．３５．执行如图所示的程序框图，若输入的狓的值为１４，则输出的狔的值为（ ）Ａ．１４Ｂ．１２Ｃ．２Ｄ．－２ ６．某广告公司有职工１５０人，其中业务人员１００人，管理人员１５人，后勤人员３５人，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为３０的样本，则应抽取管理人员（ ）Ａ．１５人Ｂ．５人Ｃ．４人Ｄ．３人·１·２０１９年普通高中学业水平考试信息模拟卷（六）·数学 ７．如图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体侧面展开图的面积是（ ）Ａ．π４Ｂ．π２Ｃ．πＤ．２π８．已知直线犽狓－狔＋１－犽＝０恒过定点犃，且点犃在直线犿狓＋狀狔－１＝０（犿＞０，狀＞０）上，则犿狀的最大值为（ ）Ａ．１２Ｂ．１４Ｃ．２Ｄ．４ ９．利用计算机在区间（０，１）上产生随机数犪，则使不等式９犪２－９犪＋２＜０成立的概率是（ ）Ａ．１３Ｂ．２３Ｃ．１２Ｄ．１４１０．定义在区间（０，π２）上的函数狔＝２ｃｏｓ狓的图象与狔＝３ｔａｎ狓的图象的交点为犘，过点犘作犘犘１⊥狓轴，垂足为犘１，直线犘犘１与狔＝１２ｓｉｎ狓的图象交于点犘２，则线段犘１犘２的长为（ ）Ａ．１３Ｂ．１２Ｃ．２３Ｄ．１４二、填空题：本大题共５个小题，每小题４分，满分２０分．１１．若点（２，１）在狔＝犪狓（犪＞０，且犪≠１）关于狔＝狓对称的图象上，则犪＝ ．１２．在△犃犅犆中，→犃犅＝犮，→犃犆＝犫，若点犇满足→犅犇＝１２→犇犆，则→犃犇用犫、犮表示的结果为→犃犇＝ ．１３．若实数狓，狔满足约束条件２狓－狔≥０，狓＋狔－３≥０，狓≤２烅烄烆，则狕＝－狓＋２狔的最小值为 ．１４．在△犃犅犆中，已知角犃、犅、犆所对的边分别为犪、犫、犮，若犮ｃｏｓ犅＝１２，犫ｓｉｎ犆＝５，则犮＝ ．１５．已知函数犳（狓）＝２狓＋１４狓－５在区间（狀，狀＋１）（狀∈犖）内有零点，则狀＝．·２·２０１９年普通高中学业水平考试信息模拟卷（六）·数学三、解答题：本大题共５个小题，满分４０分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．１６．（本小题满分６分）犳（狓）＝２－ｓｉｎ狓，狓∈犚，求：（１）犳（π６）；（２）犳（狓）的最大值及此时狓的取值．１７．（本小题满分８分）设犳（狓）为定义在犚上的偶函数，当０≤狓≤２时，狔＝狓；当狓＞２时，狔＝犳（狓）的图象是顶点在犘（３，４），且过点犃（２，２）的抛物线的一部分．（１）在右边的直角坐标系中直接画出函数犳（狓）的图象；（２）写出函数犳（狓）的值域．１８．（本小题满分８分）某班一次数学测试成绩的茎叶图（茎上数代表十位，叶上数代表个位）如图１所示．学生成绩５５８８９６２２３６７８９９７１２２４５６７７８８９９８２３５６９２４５７图１ 图２（１）以１０为组距，图２给定的坐标系中画出该班成绩的频率分布直方图；（２）用分层抽样的方法抽取一个容量为８的样本，在样本中从分数在［６０，８０）的试卷中任取２份分析学生失分情况，求所抽取的２份试卷中至少有一份分数在［６０，７０）的概率．·３·２０１９年普通高中学业水平考试信息模拟卷（六）·数学１９．（本小题满分８分）如图，在四棱锥犘犃犅犆犇中，犘犆＝犃犇＝犆犇＝１２犃犅＝２，犃犅∥犇犆，犃犇⊥犆犇，犘犆⊥平面犃犅犆犇．（１）求证：犅犆⊥平面犘犃犆；（２）若犕为线段犘犃的中点，且过犆，犇，犕三点的平面与线段犘犅交于点犖，确定点犖的位置，说明理由；并求三棱锥犖犃犕犆的体积．２０．（本小题满分１０分）已知数列｛犪狀｝的前狀项的和为犛狀，且犛狀＝２狀２＋狀，狀∈犖，数列｛犫狀｝满足犪狀＝４ｌｏｇ２犫狀＋３，狀∈犖．（１）求｛犪狀｝，｛犫狀｝的通项公式；（２）求数列｛犪狀犫狀｝的前狀项和犜狀．·４·２０１９年普通高中学业水平考试信息模拟卷（六）·数学书书书数 学一、选择题（１０×４分）题号１２３４５６７８９１０答案ＣＣＤＤＤＤＣＢＡＤ二、填空题（５×４分） １１．２ １２．１３犫＋２３犮 １３．０ １４．１３ １５．２三、解答题１６．解：（１）３２．（３分）（２）最大值为３，狓＝２犽π－π２，犽∈犣．（６分）１７．解：（１）当狓∈（２，＋∞）时，狔＝犳（狓）＝－２（狓－３）２＋４．（２分）又犳（狓）为犚上的偶函数，所以犳（狓）的图象如下图所示．（６分）（２）值域为狔∈（－∞，４］．（８分）１８．解：（１）分数在［５０，６０）内的频率为４３２＝０．１２５；分数在［６０，７０）内的频率为０．２５；分数在［７０，８０）内的频率为０．３７５；分数在［８０，９０）内的频率为０．１２５；分数在［９０，１００）内的频率为０．１２５．频率分布直方图如图所示：（４分）·１·２０１９年普通高中学业水平考试信息模拟卷（六）参考答案·数学 （２）由题意，各分数段抽取的试卷数分别为１，２，３，１，１，在［６０，８０）的试卷数为５，记分数在［６０，７０）的试卷为犃，犅，分数在［７０，８０）的试卷为犪，犫，犮，则任取２份有犃犅，犃犪，犃犫，犃犮，犅犪，犅犫，犅犮，犪犫，犪犮，犫犮，共１０种情况，所抽取的２份试卷中至少有一份分数在［６０，７０）的试卷有７种情况，所以所抽取的２份试卷中至少有一份分数在［６０，７０）的概率为０．７．（８分） １９．解：（１）证明：在直角梯形犃犅犆犇中， 犃犆＝犃犇２＋犇犆槡２槡＝２２，犅犆＝（犃犅－犆犇）２＋犃犇槡２槡＝２２，所以犃犆２＋犅犆２＝犃犅２，即犅犆⊥犃犆；（２分）因为犘犆⊥平面犃犅犆犇，犅犆平面犃犅犆犇，所以犅犆⊥犘犆；又犃犆∩犘犆＝犆，所以犅犆⊥平面犘犃犆．（４分） （２）点犖是犘犅的中点，理由如下：因为点犕为犘犃的中点，点犖为犘犅的中点，所以犕犖∥犃犅，又因为犃犅∥犇犆，所以犕犖∥犆犇， 所以犕、犖、犆、犇四点共面， 即点犖为过犆、犇、犕三点的平面与线段犘犅的交点．（６分）因为犅犆⊥平面犘犃犆，犖为犘犅的中点， 所以点犖到平面犘犃犆的距离犱＝１２犅犆槡＝２，如图所示， 犛△犃犆犕＝１２犛△犘犃犆＝１２·１２犘犆·犃犆＝１４槡槡×２×２２＝２， 所以犞三棱锥犖犃犕犆＝１３犛△犃犕犆·犱＝１３槡槡×２×２＝２３．（８分） ２０．解：（１）由犛狀＝２狀２＋狀可得当狀≥２时，犪狀＝犛狀－犛狀－１＝（２狀２＋狀）－［２（狀－１）２＋（狀－１）］＝４狀－１． 当狀＝１时，犪１＝３，符合上式．（２分） 所以犪狀＝４狀－１．（３分） 由犪狀＝４ｌｏｇ２犫狀＋３可得犫狀＝２狀－１．（４分） （２）犪狀犫狀＝（４狀－１）·２狀－１， 犜狀＝３×２０＋７×２１＋１１×２２＋…＋（４狀－１）×２狀－１， ① ２犜狀＝３×２１＋７×２２＋１１×２３＋…＋（４狀－１）·２狀，②①－②得－犜狀＝３×２０＋４（２１＋２２＋…＋２狀－１）－（４狀－１）·２狀＝３＋４×２（１－２狀－１）１－２－（４狀－１）·２狀＝３＋２狀＋２－８－（４狀－１）·２狀＝－５－（４狀－５）·２狀， 所以犜狀＝５＋（４狀－５）·２狀．（１０分）·２·２０１９年普通高中学业水平考试信息模拟卷（六）参考答案·数学