代数几何综合题

春季专题五：代数几何综合题1、如图，（1），在ABC中，90,2ACBBCAC，P为BC边上一定点，（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为)20(aa，请写出PQCQ最小值，并说明理由。2、如图1,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2,∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△A′B′C′，AB分别与A′C,A′B′相交于D、E,如图(乙)所示.⑴.△ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C′?说明理由.⑵.求△ACB与△A′B′C′的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)_G_B_F_C_A(甲)_E_D_G_B_F_C_A(乙)图1BAACBPQCABEFMN图②CABEFMN图①3、如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。(0º＜α＜90º)得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明(△ABC与△A1B1C1全等除外)；(2)当△BB1D是等腰三角形时，求α；(3)当α＝60º时，求BD的长．4、已知Rt△ABC中，90ACB，CBCA，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（1）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图①，求证：222BNAMMN；（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式222BNAMMN是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5、如图（1），（2），（3）中，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点，一边延长线和另一边反向延线上的点，且,CDBEDB延长线交AE于F。S（1）（2）（3）（4）（1）求图（1）中，AFB的度数；（2）图（2）中，AFB的度数为；图（3）中AFB的度数为。（3）根据前面探索，请你将本题推广到一般的正n边形情况。6、如图（1），OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题。（1）如图（2），在ABC中，ACB是直角，60B，AD，CE分别是BCABAC,的平分线，AD，CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图（3），在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变。请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？请证明；若不成立，请说明理由。AECDFBAECFBDMAECFBNMDAFEBDCMOPMNFAEBCDABCDEF7．如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4。(1)求点C的坐标；(2)如图○15，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A’CB’的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A’B’C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)(3)在(2)的基础上，将△A’CB’绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为43时，求直线CE的函数表达式。8、如图（1），在ABC中，BACGACAB,交BA的延长线于点G。一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。（1）（2）（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想。（2）当三角尺沿AC方向平移到图（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D。过点D作BADE于点E。此时请你通过观察、测量DFDE,与CG的长度，猜想并写出DFDE与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想。（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图（3）所示的位置时，（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不说明理由）。yyxx1111ABCCAB’A’GF图○15图○14OOEABCGFABCGFEDABCGFED