高中数学《函数的极限》教案

第1页（共5页）课题：2.3函数的极限(二)教学目的：1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限．2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限．3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系奎屯王新敞新疆教学重点：掌握当0xx时函数的极限教学难点：对“0xx时，当0xx时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆内容分析：上节课我们学习了当x趋向于∞即x→∞时函数f(x)的极限.当x趋向于∞时，函数f(x)的值就无限趋近于某个常数a.我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x0，当x趋向于x0时，函数f(x)的值是否会趋近于某个常数a呢？教学过程：一、复习引入：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列}{na的项na无限趋近于．．．．．某个常数a（即naa无限趋近于0），那么就说数列}{na以a为极限，或者说a是数列}{na的极限．记作limnnaa，读作“当n趋向于无穷大时，na的极限等于a”奎屯王新敞新疆“n∞”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思奎屯王新敞新疆limnnaa有时也记作：当n∞时，naa．2.几个重要极限：（1）01limnn（2）CCnlim（C是常数）（3）无穷等比数列}{nq（1q）的极限是0，即)1(0limqqnn奎屯王新敞新疆3.函数极限的定义:(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常第2页（共5页）数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a.记作：xlimf(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a.(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a.记作xlimf(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a.(3)如果xlimf(x)=a且xlimf(x)=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作：xlimf(x)=a或者当x→∞时，f(x)→a.4.常数函数f(x)=c.(x∈R)，有xlimf(x)=c.xlimf(x)存在，表示xlimf(x)和xlimf(x)都存在，且两者相等.所以xlimf(x)中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限xliman中的∞仅有+∞的意义奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1.研究实例(1)探讨函数2xy，当x无限趋近于2时的变化趋势．当x从左侧趋近于2时，记为：2x．当x从右侧趋近于2时,记为：2x.发现（左极限）22lim2xx,（右极限）22lim2xx,因此有22lim2xx．(2)我们再继续看112xxy,当x无限趋近于1（1x）时的变化趋势:x1.11.31.51.71.91.991.9991.99992y=x21.211.692.252.893.613.96013.9963.99964x2.92.72.52.32.12.012.0012.00012y=x28.41.7.296.255.254.414.044.0044.00044第3页（共5页）211,(1)1xyxxx,当x从左侧趋近于1时，即1x时，2y．当x从右侧趋近于1时,即1x时，2y．即（左极限）2111(1)21limlimxxxxx，（右极限）2111(1)21limlimxxxxx2111(1)21limlimxxxxx(3)分段函数1(0)()0(0)1(0)xxfxxxx当x→0的变化趋势.1-1xOy①x从0的左边无限趋近于0，则()fx的值无限趋近于－1.即0lim()1xfx②x从0的右边无限趋近于0，则()fx的值无限趋近于1.即0lim()1xfx可以看出00lim()lim()xxxxfxfx，并且都不等于(0)0f．象这种情况，就称当0x时，()fx的极限不存在．2.趋向于定值的函数极限概念：当自变量x无限趋近于0x（0xx）时，如果函数)(xfy无限趋近于一个常数a，就说当x趋向0x时，函数)(xfy的极限是a，记作0lim()xxfxa奎屯王新敞新疆第4页（共5页）特别地，CCxx0lim；00limxxxx奎屯王新敞新疆3.000lim()lim()lim()xxxxxxfxafxfxa其中0lim()xxfxa表示当x从左侧趋近于0x时的左极限，0lim()xxfxa表示当x从右侧趋近于0x时的右极限奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1求下列函数在X＝0处的极限（1）121lim220xxxx（2）xxx0lim（3）)(xf22,00,01,0xxxxx奎屯王新敞新疆解：（1）220011limlim12121xxxxxxx（2）000lim1,lim1limxxxxxxxxx不存在．（3）)(xf22,00,01,0xxxxx20000lim()lim(1)1,lim()lim21xxxxxfxxfx000lim()lim()1lim()1xxxfxfxfx．2x1+x21xOy四、课堂练习：1．对于函数12xy填写下表，并画出函数的图象，观察当x无限趋近于1时的变化趋势，说出当1x时函数12xy的极限第5页（共5页）2．对于函数12xy填写下表，并画出函数的图象，观察当x无限趋近于3时的变化趋势，说出当3x时函数12xy的极限3.求如下极限：⑴121lim221xxxx;⑵32302)31()1(limxxxxx;⑶)cos(sin2lim22xxxx⑷2321lim4xxx;⑸xaxax20lim（0a）;⑹xx1lim0奎屯王新敞新疆答案：⑴2211112limlim21213xxxxxxx⑵32300(1)(13)3limlim3212xxxxxxxx⑶222lim2(sincos)22xxxx⑷441232(2)4limlim32123xxxxxx⑸220011limlim2xxaxaxaaxa⑹xx1lim0不存在．五、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限奎屯王新敞新疆六、课后作业：奎屯王新敞新疆七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、课后记：奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆x0.10.90.990.9990.99990.999991y=2X＋1x1.51.11.011.0011.00011.000011y=2X＋1x2.92.992.9992.99992.999992.9999993y=X2－1x3.13.013.0013.00013.000013.0000013y=X2－1