人教版高一数学必修五

【人教版笔记2015年版本】目录※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※正弦定理（一）--------------P1-3正弦定理（二）--------------P4-5余弦定理--------------P6-7【综合A组】-------------P8【综合B组】-------------P9三角形应用举例距离问题--------------P10三角形应用举例高度问题--------------P11解三角形高考试题汇编举例--------------P12-13解三角形高考试题汇编试题--------------P14-15数列的概念与简单表示法(1)--------------P16数列的概念与简单表示法(2)--------------P17-18等差数列（1）--------------P19-20等差数列（2）---------P21等差数列的前n项和(1)--------------P22-23等差数列的前n项和(1)--------------P23-24等比数列（1）--------------P25-26等比数列（2）---------P25-26等比数列的前n项和(1)--------------P28-30等比数列的前n项和(2)--------------P30-31数列通项公式的求法专题-------------P32-33数列通项公式的求法练习-------------P34数列求和的基本方法和技巧-------------P35-36数列求和练习-------------P37-38不等式关系与不等式-----------P39-41一元二次不等式及其解法-------------P42-44二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题P45-46基本不等式--------------P47-48数学必修5测试题--------------P50-51※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※必修五重点级公式在△ABC中（1）正弦定理2sinsinsinabcRABCa∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC（2）余弦定理222cos2bcaAbc222cos2acbacB222cos2abcCab（3）正弦面积公式11sin224aabcSahabCR（4）三角化两角sin（A+B）=sinC；cos（A+B）=cosC001312012022cos;sin006262151544sin,cos22222222112sin()sincoscossincos()coscossinsinsinsincoscoscossincossin（5）万能公式11,(1),(2)nnnSnaSSn（6）等差通项1(1)naand()manmd（7）等差中项：pqmnpqmnaaaa（8）等差求和：11()(1)22nnnaannSnad（9）等差结论21=(21)nnSna，（10）等比通项11nnaaqnmmaq（11）等比中项：pqmnpqmnbbbb（12）等比求和11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq（13）裂项法111(1)1nnnn1111()()nnkknnk（14）基本不等式（均值不等式）abba222ba,是正数，abba2（一正二定三相等）“当且仅当ab时取等号”★222abcabbcca★2222211abababab（15）分式不等式口诀：移项通分数轴标根（16）二次不等式最高项系数为正大于（号）取两边小于（号）取中间（17）线性规划解方程带点求最值（18）不等式选择题多考虑特殊值代入-1-◇◇◇◇◇◇◇◇正弦定理（一）◇◇◇◇◇◇◇◇1．正弦定理（阅读教材完成下列内容）文字语言[来源:学.科.网]在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等图形语言[来源:学。科。网Z。X。X。K]符号语言在△ABC中，asinA＝bsinB＝______=______（R为ABC的外接圆半径）作用解三角形(求边长和角值)、判断三角形的形状等2.如何证明正弦定理对任意的三角形都成立呢？证明：如图在ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c则ABC的面积S利用正弦关系，又可以表示为1122sinsinSacBabC则同理所以正弦定理成立其中我们将111222sinsinsinABCSbcAacBabC叫做正弦面积公式3.如何证明2sinsinsinabcRABC（R为ABC的外接圆半径）证明：4.由此还可以推出以下结论：①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；（边的比为角的正弦值的比，不是角值得比）②ab＝sinAsinB，ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC；（边角互化）③asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC；（合比定理）④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（边化角）⑤sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；（角化边）⑥A＜Ba＜b2RsinA＜2RsinBsinA＜sinB.（恒成立结论）正弦定理是三角形中的边与角联系的纽带和桥梁，也就是说，能够将三角形中边的关系转化为角之间的关系，也能将角的关系转化为边之间的关系．这是正弦定理的“灵魂”ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、ch-2-【基础练习】1．在ABC中，已知0045,30,10ABc，解三角形。（解三角形就是解出题中没有给出的边和角）2．在ABC中，已知045,2,2Aab，解三角形3.在ABC中，已知0075,45,32ABc，求a、b4.在ABC中，已知045,2,6Aab，求B、C5.在ABC中，已知018,20,150abA,解三角形评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。仿照正弦定理的证法：111sinsinsin222ABCSabCbcAcaB，并运用这一结论解决下面的问题：（1）在ABC中，已知02,3,150abC,求ABCS；（2）在ABC中，已知0010,45,30cAC,求b和ABCS；（3）在△ABC中，若B=030,AB=23,AC=2,求ABC的面积-3-【典型习题】1.在△ABC中，a＝2，b＝3，则sinAsinB＝______2.在△ABC中，c＝3，A＝45°，C＝60°，则a＝__________.3.在△ABC中，a＝2，b＝1，sinA＝13，则sinB＝__________.4在△ABC中，A＝60°，43a，42b，则B＝__________5已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝__________.6在△ABC中，a，b分别是△ABC的内角A，B所对的边．若B＝45°，b＝2a，则C＝__________.7在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，则边c＝__________.8.已知ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，则a:b:c=________9.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于________10.△ABC中，已知下列条件，解三角形：(1)b＝10，c＝56，C＝60°；(2)a＝3，b＝2，B＝45°.【思维扩展】确定三角形解的个数剖析：(1)已知两角与一边，根据正弦定理，有解时，只有一解．(2)已知两边及其中一边的对角，根据正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：角A为锐角角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA[来源:学科网]②a≥bbsinA＜a＜ba＜bsinAa＞ba≤b解的情况一解两解无解一解无解具体解题时，作出已知角A，边AC，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．也可以根据三角函数的性质来判断．由正弦定理，得sinB＝bsinAa.（1）当bsinAa＞1时，则无解；（2）当bsinAa＝1时，则有一解；（3）当0＜bsinAa＜1时，如果a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；如果a＜b，即A＜B，则有两解．不解三角形判断下列三角形解得个数（1）07,14,30abA（2）030,25,150abA（3）06,9,45abA（4）09,10,60bcB-4-◇◇◇◇◇◇◇◇正弦定理（二）◇◇◇◇◇◇◇◇【题型1】判断三角形的形状例.在△ABC中，若已知coscosaAbB,判断三角形的形状。练习1：在△ABC中，已知22tantanaBbA,试判断ABC的形状。练习2：在△ABC中，若，判断△ABC的形状．练习3：已知在△ABC中，试判断三角形的形状。【题型2】正弦定理与三角变换的综合应用例2.在ABC中，已知AC=2,BC=3,cosA=45,(1)求sinB的值；(2)求sin(2)6B的值。练习在ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若252,,cos425BaC,求ABC的面积coscoscosabcABC,sinsinsin,sinsin222CBACcBb-5-◇◇◇◇◇◇◇◇余弦定理◇◇◇◇◇◇◇◇文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和______这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍符号语言在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝__________常用计算公式cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ac，cosC＝____________作用解三角形、判断三角形的形状等(1)余弦定理中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量，即“知三求一”．(2)余弦定理适用的题型：①已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．(3)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．[来源:学科网]【做一做】1.在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则2c等于2.在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB等于例1．在ABC中，已知0236245,,acB，求b及A分析：求b只能用正弦定理，求出b后求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理例2．在ABC中，已知753,,abc，判断ABC的类型。结论：已知三边a、b、c判断三角形形状的方法A为直角A为锐角A为钝角[随堂练习]（1）在ABC中，已知sin:sin:sin2:4:5ABC，判断ABC的类型，（2）设x、x+1、x+2是锐角三角形的三边长，求实数x的取值范围，(3)设2121,,aaa是钝角三角形的三边长，求a的取值范围。【典型习题】1已知△ABC满足B＝60°，AB＝3，AC＝7，则BC的长等于-6-2在△ABC中，bcosA＝acosB，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形3在△ABC中，若a＝b＝1，c＝3，则C＝__________.4在△ABC中，1222coscoscosAAA(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求△ABC面积5.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状6.在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，则t的取值范围是_________7.在△ABC中，,109cos,5,5A