二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

1二次函数的存在性问题（相似三角形）1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。2、设抛物线22yaxbx与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．AABBOOxxyy图①图②2xyF-2-4-6ACEPDB521246G(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线1yx交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴△AOC∽△COB,．∴OA·OB=OC2；∴OB=22241OCOA∴m=4．3、已知抛物线2yaxbxc经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线ykxb与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E.直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得：255036600abcabcc解得150abc故抛物线的函数关系式为25yxx（2）C在抛物线上，2252,6mmC点坐标为（2，6），B、C在直线ykxb上3DxyNOMPACB2H6266kbkb解得3,12kb直线BC的解析式为312yx设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）1146462422OBCS（3）存在P，使得OCD∽CPE设P(,)mn，90ODCE故2,6CEmEPn若要OCD∽CPE，则要ODDCCEEP或ODDCEPCE即6226mn或6262nm解得203mn或123nm又(,)mn在抛物线上，22035mnnmm或21235nmnmm解得12211023,,6509mmnn或121226,66mmnn故P点坐标为1050()39，和(6,6)4、如图，抛物线(1)(5)yaxx与x轴的交点为MN，．直线ykxb与x轴交于(20)P，，与y轴交于C．若AB，两点在直线ykxb上，且2AOBO，AOBO．D为线段MN的中点，OH为RtOPC△斜边上的高．（1）OH的长度等于；k，b．（2）是否存在实数a，使得抛物线(1)(5)yaxx上有一点E，满足以DNE，，为顶点的三角形与AOB△相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足102PBPG，写出探索过程．解：（1）1OH；33k，233b．（2）设存在实数a，使抛物线(1)(5)yaxx上有一点E，满足以DNE，，为顶点的三角形与等腰直角AOB△相似．以DNE，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．①若DN为等腰直角三角形的直角边，则EDDN．由抛物线(1)(5)yaxx得：(10)M，，(50)N，．(20)D，，3EDDN．E的坐标为(23)，．把(23)E，代入抛物线解析式，得13a．抛物线解析式为1(1)(5)3yxx．即2145333yxx．②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DEEN，DEEN．4yxOABE的坐标为(3.51.5)，．把(3.51.5)E，代入抛物线解析式，得29a．抛物线解析式为2(1)(5)9yxx，即22810999yxx当13a时，在抛物线2145333yxx上存在一点(23)E，满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E点，那么只有可能DEN△是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得(3.51.5)E，，显然E不在抛物线2145333yxx上，故抛物线2145333yxx上没有符合条件的其他的E点．当29a时，同理可得抛物线22810999yxx上没有符合条件的其他的E点．当E的坐标为(23)，，对应的抛物线解析式为2145333yxx时，EDN△和ABO△都是等腰直角三角形，45GNPPBO又NPGBPO，NPGBPO△∽△．PGPNPOPB，2714PBPGPOPN，总满足102PBPG．当E的坐标为(3.51.5)，，对应的抛物线解析式为22810999yxx时，同理可证得：2714PBPGPOPN，总满足102PBPG5、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可设抛物线的解析式为1)2(2xay∵抛物线过原点∴01)20(2a∴41a∴抛物线的解析式为1)2(412xy即xxy241.（2）∵△AOB与△MOB同底不等高又∵S△MOB=3S△AOB∴△MOB的高是△AOB高的3倍即点M的纵坐标是3∴xx2413∴01242xx解得61x，22x∴)36(1，M)32(2，M（3）由抛物线的对称性可知：AO=ABABOAOB若△OBN与△OAB相似，必须有BNOBOABON，显然)12('，A∴直线ON的解析式为xy21，由xxx24121，得01x，62x∴)36(，N过N作NE⊥x轴，垂足为E.在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴133222NB又OB=4∴NB≠OByxOABENAA′5yOxCNBPMA∴∠BON≠∠BNO∴△OBN与△OAB不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点.故在抛物线上不存在N点，使得△OBN与△OAB相似6、如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CE—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO.(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由；(2)令CMNOCFGHSSm四边形四边形，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝31，Q为AE上一点且QF＝32，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。解（1）EO＞EC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC，故EO＞EC（2）m为定值。∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC)·CO∴1CMNOCFGHSSm四边形四边形（3）∵CO=1，3231QFCE，∴EF=EO=QF32311∴cos∠FEC=21∴∠FEC=60°，∴3060260180EAOOEAFEA，∴△EFQ为等边三角形，32EQ作QI⊥EO于I，EI=3121EQ，IQ=3323EQ∴IO=313132∴Q点坐标为)31,33(∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)，Q)31,33(，m=1，∴可求得3b，c=1∴抛物线解析式为132xxy（4）由（3），3323EOAO当332x时，3113323)332(2y＜AB∴P点坐标为)31,332(∴BP=32311AO方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：①3323232BK时，932BK∴K点坐标为)1,934(或)1,938(；6yxOCBAD图2yxOCBADyxOCBADMP1EP2②3232332BK时，332BK，∴K点坐标为)1,334(或)1,0(故直线KP与y轴交点T的坐标为)1,0()31,0()37,0()35,0(或或或方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°①当∠RTP=30°时，23332RT②当∠RTP=60°时，323332RT∴)1,0()31,0()35,0()37,0(4321TTTT，，，7、如图，二次函数2yaxbxc（0a）的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C．连结ACBCAC、，、两点的坐标分别为(30)A，、(03)C，，且当4x和2x时二次函数的函数值y相等．（1）求实数abc，，的值；（2）若点MN、同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN△沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，，为项点的三角形与ABC△相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8、已知：在平面直角坐标系中，抛物线32xaxy（0a）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线2x．（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线23yaxx（0a）的对称轴为直线2x．∴122a，∴14a，∴2134yxx．∴(24)D，．图1yxOCBADMP7（2）探究一：当04t时，W有最大值．∵抛物线2134yxx交x轴于AB、两点，交y轴于点C，∴(60)A，，(20)B，，(03)C，，∴63OAOC，．当04t时，作DMy⊥轴于M，则24DMOM，．∵(0)Pt，，∴4OPtMPOMOPt，．∵PADAOPDMPOADMSSSS△△△梯形111()222DMOAOMOAOPDMMP111(26)462(4)222tt122t∴