高等代数(北大版)第一章-多项式1.7

主讲老师：联系电话：高等代数§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、多项式函数与根二、多项式函数的有关性质一、多项式函数与根1.多项式函数101(),nnnfxaxaxa设数,p将的表示式里的用代替，得到P中的数()fxx101,nnnaaa称为当时的值，记作()fx().fx这样，对P中的每一个数，由多项式确定P中唯一的一个数与之对应，于是称为P上的一个多项式函数．()fx()f()fx若多项式函数在处的值为0，即()fxx()0,f则称为的一个根或零点．()fx2.多项式函数的根(或零点)易知，若12()()(),()()(),hxfxgxhxfxgx12()()(),()()().hfghfg则，（余数定理）：用一次多项式去除多项式x所得余式是一个常数，这个常数等于函数(),fx值().f二、多项式函数的有关性质1.定理7是的根()fx()|().xfx推论:例1求在处的函数值.42()49fxxxx3x法一：把代入求3x(),fx(3).f用去除所得余数就是3x(),fx(3).f法二：(3)69.f答案：若是的重因式，则称为x()fxk的重根.()fxk当时，称为的单根．1k()fx当时，称为的重根．1k()fx2.多项式函数的k重根定义注：①是的重根是的重因式．()fxx()fx②有重根必有重因式．()fx()fx反之不然，即有重因式未必有重根．()fx()fx22()(1)[],fxxRx例如，为的重因式，但在R上没有根．()fx()fx21x3.定理8(根的个数定理)任一中的次多项式在中的根[]Pxn(0),nP不可能多于个，重根按重数计算．n4.定理9且(),()[],fxgxPx(),(),fxgxn若有使121,,,nP()(),1,2,,1iifgin则()().fxgx证：设()[],()0fxPxfx若即()0,fx()0,fxc()fxn时，由因式分解及唯一性定理，()fx可分解成不可约多项式的乘积，由推论，的根的个数等于分解式中()fx()fx一次因式的个数，重根按重数计算，且此数.n此时对有,P()0.fc即有0个根.()fx定理8证：令则有()()(),hxfxgx()0,1,2,,1,ihin由定理８，若的话，则()0hx().hxn矛盾．所以，()0,hx即有()hx121,,,1nn个根，()().fxgx即定理9解：例2求t值，使32()31fxxxtx有重根．3231xxtx236xxt()fx()fx13x32132xxtx2231xtx132132xxt21133(2)(1)()txtrx3133,()21ttrxx32x1542323xx152xt151524x154t1i)()0,rx若即3,t则213(),()()(1),fxfxfxx此时，有重根，()fx为的三重根．()fx1x1514ii)()0,0,rxt若即154,t则12(),()fxfxx此时，有重根，()fx为的二重根．()fx12x例3举例说明下面命题是不对的．'()()1fxnfxn是的重根是的重根解：令则321()5,3fxxxx'22()21(1),fxxxx但1(1)1150,3f是的2重根，'()fx1x1不是的根，从而不是的3重根．()fx()fx例4若求242(1)|1,xAxBx,.AB解：242(1)|1xAxBx从而，1为的根．'()fx于是有，'(1)10(1)420fABfAB42()1fxAxBx1为的重根，12AB