高等代数(北大第三版)第一章多项式-1.11

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、一元多项式根与系数的关系二、n元对称多项式三、一元多项式的判别式§1.11对称多项式——韦达定理设①1212()[]nnnnfxxaxaxaPx若在上有个根，则()fx12,,,nnP12()()()()nfxxxx②把②展开，与①比较，即得根与系数的关系：一、一元多项式根与系数的关系§1.11对称多项式1211221213112(1)(1)innniikkknnnaaaa（所有可能的i个不同的的积之和）jka，特别地，为其根，20(0)axbxca12,xx1212,bcxxxxaa则有§1.11对称多项式二、n元对称多项式定义设，112(,,)[,,,],nnfxxPxxx若对任意，有,(1,)ijijn11(,,,,,,)(,,,,,,)jnijinfxxxxfxxxx则称该多项式为对称多项式．如，333123123(,,)fxxxxxx§1.11对称多项式下列n个多项式11221213112nnnnnxxxxxxxxxxxx称为个未定元的初等对称多项式．n12,,,nxxx§1.11对称多项式1．对称多项式的和、积仍是对称多项式；对称多项式的多项式仍为对称多项式．则1212(,,,)(,,,)mngfffhxxx是元对称多项式．n特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式．若为对称多项式，1212,,,[,,,]mnfffPxxx为任一多项式，12(,,,)mgyyy性质即，§1.11对称多项式2．对称多项式基本定理对任一对称多项式,都有n元多项式1(,,)nfxx,使得12(,,,)nyyy112(,,)(,,,)nnfxx为初等对称多项式．12,,,n§1.11对称多项式则必有120nlll作对称多项式2312112nlllllna设对称多项式按字典排列法的1(,,)nfxx1212,nlllnaxxx首项为证明：231211212()()nlllllnaxxxxxx再作对称多项式1211112(,,)nlllnnfffxxaxxx则的首项为11212nlllnaxxx§1.11对称多项式则有比较“小”的首项．f1f对重复上述作法，并依此下去.1f即有一系列对称多项式11212,,,fffff它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步．．故存在，使hZ10hhhff于是12.hf这就是一个初等对称多项式的多项式．§1.11对称多项式上述证明过程实际上是逐步消去首项.逐步消去首项法的一般步骤：则一定有第一步：找出对称多项式f的首项,1212nlllnaxxx第二步：由f的首项写出:12312112nlllllna说明确定它对应的指数组12(,,,),nlll12.nlll§1.11对称多项式第三步：作，并展开化简．11ff212ff如此反复进行，直到出现，则10hhhff12.hf再对按一、二、三步骤进行，构造1f2:f§1.11对称多项式例1.把多项式f表成初等对称多项式的多项式,333123fxxx令30000112311ff2222221221133123321233()6xxxxxxxxxxxxxxx的首项是1f2123,xx解:31,33331231xxx作对称多项式1:f(2,1,0),它所对应的指数组是它所对应的数组是f的首项是31,x(3,0,0),§1.11对称多项式1231213233()()xxxxxxxxx2222221221133123321233()9xxxxxxxxxxxxxxx2110021233令1233112333作对称多项式212ff1233xxx33所以，123f令11111031233于是323ff0§1.11对称多项式对于齐次对称多项式还可以采用待定系数法．(设f是m次齐次对称多项式)第一步：根据对称多项式f首项对应的指数组写出所有可能的指数组，12(,,,)nkkk且这些指数组满足：③前面的指数组先于后面的指数组．12;nkkk①12;nkkkm②附：待定系数法的一般步骤：§1.11对称多项式的初等对称多项式的方幂的乘积：231212nkkkkkn第二步：对每个指数组，写出它对应12(,,,)nkkk第三步：设出f由所有初等对称多项式的方幂乘积的线性表达式，其首项系数即为f的首项系数，其余各项系数分别用A、B、C、…代替．§1.11对称多项式第四步：分组选取适当的的值，计(1,2,,)ixin算出及f，12,,,n性表达式中，得到关于A、B、C、…的线性方程组，解这个线性方程组求得A、B、C、…的值．最后写出所求的f的表达式．将之代入第三步中设出的线§1.11对称多项式例2用待定系数法把表成初等333123fxxx对称多项式的多项式．所有不先于的三次指数组及相应的初等对称(3,0,0)解:(3,0,0),它所对应的数组是f的首项是31,x多项式方幂的乘积如下表:指数组相应的初等对称多项式方幂的乘积2110012312(2,1,0)111111233(1,1,1)3000031231(3,0,0)§1.11对称多项式这样，f可表成31123fAB(1)及f的值如下表:适当选取的值，计算出(1,2,3)ixi12,,,n１１１３３１３１１０２１０２1x2xf23x13代入（1）式得2793822ABA解之得，3,3AB所以3112333.f§1.11对称多项式三、一元多项式的判别式有特殊的重要性．按对称多项式基本定理知，211(,,)()nijijnDxxxx对称多项式D可表成21122,(1),,(1)nnnaaa由根与系数的关系知，的多项式1(,,).nDaa是1,,nxx1212()nnnnfxxaxaxa(2)的根，则多项（2）有重根的充要条件是1(,,)0.nDaa§1.11对称多项式．正因为此，称为多项式(2)的判别式．1(,,)0nDaa例3求的判别式．212()fxxaxa222121122()2Dxxxxxx解：21212()4xxxx22121244aa§1.11对称多项式求的判别式．32123()fxxaxaxa练习