高等代数多项式-一元多项式-整除的概念

高等代数中南大学数学院高等代数课题组一、一元多项式的定义二、多项式环1．定义个非负整数，形式表达式设是一个符号（或称文字），是一xn1110nnnnaxaxaxa称为数域P上的一元多项式．其中01,,,naaaP等表示．常用(),(),()fxgxhx一、一元多项式的定义系数，n称为多项式的次数，记作()fx(()).fxn=③若，即，则称之010naaa()0fx为零多项式．零多项式不定义次数．区别：零次多项式(),0,fxaa多项式中，1110()nnnnfxaxaxaxa称为i次项，称为i次项系数．iiax①ia注：②若则称为的首项，为首项()fxnnax0,nana零多项式()0fx(())0.fx=2．多项式的相等若多项式与的同次项系数全相等，则()fx()gx称与相等，记作()fx()gx()().fxgx即，1110(),mmmngxbxbxbxb()(),,0,1,2,,.iifxgxmnabin1110(),nnnnfxaxaxaxa3．多项式的运算：加法（减法）、乘法11100(),iinnnnnifxaxaxaxaax11100(),jjmmmmmjgxbxbxbxbbx加法：若在中令,nm()gx110nnmbbb则0()()().iiniifxgxabx0()()()iiniifxgxabx减法：10100()oababxab1()nmiijsijsabx()()fxgx中s次项的系数为11110.sosssijijsababababab注:乘法：()()fxgx111()nmnmnmnmnmabxababx4．多项式运算性质1)为数域P上任意两个多项式，则()()fxgx()(),()()fxgxfxgx仍为数域P上的多项式．2)(),()[]fxgxPx①(()())max((()),()))fxgxfxgx②若()0,()0,fxgx则()()0,fxgx且(()())(())(())fxgxfxgx()()0fxgx9()()fxgx的首项系数()fx的首项系数×()gx的首项系数.3)运算律()()()()fxgxgxfx(()())()()(()())fxgxhxfxgxhx()()()()fxgxgxfx(()())()()(()())fxgxhxfxgxhx()(()())()()()()fxgxhxfxgxfxhx()()()(),()0()()fxgxfxhxfxgxhx例1设(),(),()()fxgxhxRx(1)证明:若222()()(),fxxgxxhx则()()()0fxgxhx=(2)在复数域上(1)是否成立？(1)证：若()0,fx则222(()())()0,xgxhxfx于是2222(()())((()()))xgxxhxxgxhx为奇数.故()0,fx从而22()()0.gxhx从而22()()0.gxhx2(())fx但为偶数.这与已知矛盾.222(()())(),xgxhxfx(2)在C上不成立．如取()0,(),()fxgxixhxx从而必有()()0.gxhx()()()0.fxgxhx又均为实系数多项式，(),()fxgx所有数域P中的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记作[].PxP称为的系数域．[]Px二、多项式环定义一、带余除法二、整除对(),()[],()0,fxgxPxgx一定存在(),()[],qxrxPx使()()()()fxqxgxrx成立，其中(())(())rxgx或()0,rx一、带余除法定理并且这样的(),()gxrx是唯一决定的．称为除的商，为除()qx()gx()fx()rx()gx()fx的余式．①若()0,fx则令()()0.qxrx结论成立．②若()0,fx设(),()fxgx的次数分别为,,nm证：当时，nm结论成立．显然取即有()0,()()qxrxfx()()()(),fxqxgxrx下面讨论的情形，nm假设对次数小于n的，()fx结论已成立．先证存在性．对n作数学归纳法．次数为０时结论显然成立．设的首项为()fx,nax()gx,()mbxnm的首项为则与首项相同，1nmbaxgx()fx因而，多项式1()()-1=-gn-mfxfxbaxx的次数小于n或f1为0．若1=0,fx令1(),()0nmqxbaxrx即可．若1,fxn由归纳假设，存在11(),()qxrx使得111fxqxgxrx现在来看次数为n的情形．其中1()rxgx或者1()0.rx于是111.nmfxbaxqxgxrx即有111(),nmqxbaxqxrxrx使()()()(),fxqxgxrx成立．的存在性得证．由归纳法原理，对(),()0,fxgx(),()qxrx再证唯一性．,fxqxgxrx若同时有0.rxgxrx或＝其中0.rxgxrx或＝其中,fxqxgxrx和则qxgxrxqxgxrx即.qxqxgxrxrx－＝－0,0qxqxgxrxrx若，由有－qxqxgxrxrx－＋＝－max,rr但,qxqxgxgx－＋矛盾．gx所以,qxqx从而.rxrx=唯一性得证．§1.3整除的概念532258,2fxxxxgxxx例1．求除的商式和余式gxfxa0121nnaaaaa0121nnabababab＋)00121nbabbbr附：综合除法的商式101()nnqxbxb和余式r可按下列计算格式求得：这里，若1(),nn-10nfxax+ax++a则xa()fx除110221,,,baabbaab1.nnraab112,nnnbaab去除①求一次多项式xafx的商式及余式．②把fx表成xa的方幂和，即表成2012()()()fxccxacxa的形式．说明：综合除法一般用于32,12fxxxxgxxi例2．求除的商式和余式gxfx解:由＋)12i１－１－１０12i42i98i98i52i2i１有2()()25298.fxgxxixii１4１解:∵1０００００例3.把5()fxx表成1x的方幂和．１１１１１１１１１１１１=0c１232345=1c１１１136１3614１41110=2c5=4c10=3c55432(1)5(1)10(1)10(1)xxxxx5(1)1x二、整除1．定义设(),()[],fxgxPx若存在()[]hxPx使()()()fxgxhx则称()gx整除(),fx记作()|().gxfx①时，称()|()gxfx()gx为()fx的因式，()fx为()gx的倍式．②()gx不能整除()fx时记作：()|().gxfx③允许()0gx，此时有00(),()[]hxhxPx即00.区别：零多项式整除零多项式，有意义．00除数为零，无意义．00④当时，如果()|()gxfx()0,gx则除()gx所得的商可表成()fx().()fxgx定理1(),()[],()0,fxgxPxgx2．整除的判定()|()()()0.gxfxgxfxrx除的余式3．整除的性质1)对()[],fxPx有()|(),()|0;fxfxfx对()[],,0,fxPxaPa有|().afx即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式．时，与有相同的因式和倍式．0a()fx()afx2)若，则()|(),,(0).afxbgxabPa()|()fxgx3)若()|()()|(),gxfxfxgx，则()()0.fxcgxc＝，证：()|()fxgx()|()gxfx12()().fxhxhxfx若()0,fx则()()P0fxcgxcc＝，,使得1()();gxfxhx1hx使得2()().fxgxhx2hx()0,gx＝()0fx，若121hxhx＝则120.hxhx＝＝120hxhx＋＝12,hxhx皆为非空常数．4)若()|()()|()()|fxgxgxhxfxhx，，（整除关系的传递性）()()0fxcgxc＝，成立．故有5)若()|()1,2,,ifxgxi=r，则对()[],1,2,,iuxPxi=r有1122()|(()()()()())rrfxuxgxuxgxuxgx注：反之不然．如212()1,()23,gxxgxx1122(()()()23,uxgxuxgxx1122()|()()()()fxuxgxuxgx()32,fxx122,(),uxuxx12()|(),()|().fxgxfxgx但6)整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．例3．求实数满足什么条件时多项式,,mpq整除多项式3.xpxq21xmx附：整数上的带余除法对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r，使a＝qb＋r，0.rb其中