第六周-二三阶行列式与n阶行列式定义

LinearAlgebra数信学院史册•二阶与三阶行列式•n阶行列式•行列式的性质•行列式按行(列)展开•克莱姆(Cramer)法则第一章行列式教学基本要求基本要求：掌握：二阶、三阶行列式的计算公式，行列式的性质。熟悉：应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算高阶行列式。理解：余子式、代数余子式的概念了解：n阶行列式的概念。重点：行列式的性质，应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算高阶行列式难点：n阶行列式的概念，克莱姆（Cramer）法则第一节二阶与三阶行列式一、二阶行列式四、三元线性方程组五、小结思考题二、二元线性方程组三、三阶行列式1112112212212122.aaaaaaaa其中，称为元素.(1,2;1,2)ijaiji为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j列.一、二阶行列式定义1记号表示代数和称为二阶行列式，即11122122aaaa11221221aaaa，由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一定规律运算所得的代数和11a12a22a12a主对角线副对角线-----对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积例3221D3(4)7用消元法解线性方程组11112212112222axaxbaxaxb得211211221122211)(abbaxaaaa212221121122211)(baabxaaaa当时，该方程组有唯一解021122211aaaa211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax二、二元线性方程组二元线性方程组11112212112222axaxbaxaxb若令111221220aaDaa1211222bbaDa1221121baDab(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDbaabxaaaa1121212211221221abbaDxaaaaD1122DxDxDD即例1求解二元线性方程组121223823xxxx解因为2312D4370-718316(9)32D228681413D所以=112277147DxDxDD12112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233即aaaaaaaaa三、三阶行列式定义2记号表示代数和111213212223313233aaaaaaaaa称为三阶行列式323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa(1)沙路法三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaaD.列标行标333231232221131211aaaaaaaaaD三阶行列式的计算——对角线法则111213212223313233aaaDaaaaaa132132aaa112233aaa122331aaa132231aaa122133aaa112332aaa说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.说明2三阶行列式包含3!项，每一项都是位于不同行不同列三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.123312231D例2计算行列式解按对角线法则，有182766618.333222111D123231312211123049Dxx例3求解方程解按对角线法则，有2560xx2,3或者xx184x23Dx1222x9x如果三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0四、三元线性方程组利用消元法求解，则可得解为112233DDxDxDxDD为书写方便，将之记为312123,,,,TTDDDxxxDDD,3332323222131211aabaabaabD,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD其中是用常数项替换D中的第j列所得的三阶行列式，即(1,2,3)jDj123,,bbb例4求解三元线性方程组12312312322,231,0.xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式121213111D,05同理可得5,2121213101D10,3122211110D5,故方程组的解为:1221113011D312123,,,,1,2,1TTTDDDxxxDDD二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算五、小结.2112221122211211aaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa思考:三元线性方程组推广到n元线性方程组n元线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa111,11,111,1,11(1,2,,)jjnjnnjnjnnnaaaaDjbaabnaa构造系数行列式三个问题：jDD和如何算(n阶行列式定义的问题)方程组是否有唯一解0,D方程组有唯一解，0,Dx(1,2,,)jjDjnD第二节n阶行列式二、n阶行列式的定义四、小结一、排列及逆序三、对换例如，2431是一个四级排列，45321是一个五级排列.显然定义1由组成的一个有序数组称为一个n级排列，也叫做这n个元素的全排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.1,2,,n(1)(2)321!nPnnnn即n个不同的元素一共有n!种不同的排法.一、排列与逆序12n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按照递增的顺序排起来的.我们称为自然排列（或标准排列).其他排列或多或少地破坏自然顺序定义2在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么他们就称为一个逆序.在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21stii例如排列32514中，定义32514逆序逆序逆序奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：自然排列是奇排列还是偶排列？答：自然排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.12(.......)niii以后用N表示12.......niii排列的逆序数定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.计算排列的逆序数的方法1则此排列的逆序数为12n设为1,2,…,n的一个排列，先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;12nppp1p1p12p2p2npnpn方法2分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.n,n,,,121n,n,,,121n解在排列45321中,4排在首位,逆序数为0;5是最大数,其逆序数为0;3的前面比3大的数有2个:4,5,故逆序数为2;2的前面比2大的数有3个:3,4,5,故逆序数为3;例1求排列45321的逆序数.1的前面比1大的数有4个:2,3,4,5,故逆序数为4;于是排列54321的逆序数为(54321)002349故排列54321是一个奇数排列二、n阶行列式的定义111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项，每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积2.每一项可以写成（正负号除外），这里第一个下标排成自然顺序1,2,3，而第二个下标排成，是1、2、3的某个排列.3.带正号的排列是：123,231,312，带负号的是：132,213,3214.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.123123pppaaa123ppp123ppp123ppp所以，三阶行列式可以写成123123123()123(1)Npppppppppaaa其中表示对1、2、3的所有排列求和.123ppp二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaa称为n阶行列式，其中横排表示行，竖排表示列，定义4由个元素组成的记号2n(1,2,)ijaijn，121212111212122212121nnnnnnnnnpppppnppppaaaaaaDaaaaaa其中表示对1,2,…,n这n个数所有排列求和.12nppp说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn4、每一项可以写成(正负号除外)，其中是1,2,…,n的某个排列.5当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.1212nppnpaaa12nppp12nppp12nppp思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.1111111注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.1112,11nnnaaDa1122nnaaDa四个结论：(1)对角行列式nnaaa2211(2)(1)212,11(1)nnnnnaaannnnaaaaaaD21222111000nnnnaaaaaaD00022211211(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）nnaaa2211(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）nnaaa2211例?8000650012404321D443322118000650012404321aaaaD.1608541思考题已知，求的系数.1211123111211xxxxxf3x故的系数为－1.解含的项有两项，即3x1211123111211xxxxxf对应于124311223443(1)aaaa(1234)11223344(1)aaaa(1234)311223344(1