4自由度混联机器人静刚度分析

第47卷第15期2011年8月机械工程学报JOURNALOFMECHANICALENGINEERINGVol.47No.15Aug.2011DOI：10.3901/JME.2011.15.0094自由度混联机器人静刚度分析*汪满新王攀峰宋轶民赵学满黄田(天津大学机构理论与装备设计教育部重点实验室天津300072)摘要：研究一种新型混联机器人模块-Bicept的半解析刚度建模方法。该模块由一含恰约束支链的2自由度平面并联机构和一与动平台末端串接的2自由度转头构成，是Tricept机器人的一种二维形式，具有制造成本低，工作空间大的特点，配以长行程导轨，可用于飞机壁板数字化自动制孔等场合。在完成2自由度并联机构位置逆解分析和变形分析基础之上，基于全变形雅可比矩阵建立该机构的静刚度半解析模型。建模中考虑了所有支链构件及铰链的弹性贡献，并侧重研究其恰约束支链弯曲刚度的精确建模问题。通过算例获得Bicept机器人面内静刚度在工作空间中的分布规律，并通过ANSYS有限元分析软件验证了计算结果的正确性。关键词：刚度分析并联机器人中图分类号：TG156StiffnessAnalysisofa4-DOFHybridRobotWANGManxinWANGPanfengSONGYiminZHAOXuemanHUANGTian(KeyLaboratoryofMechanismandEquipmentDesignofMinistryofEducation,TianjinUniversity,Tianjin300072)Abstract：Asemi-analyticalapproachforthestiffnessmodelingofanovelhybridrobotnamedBiceptispresented.Therobotiscomposedofa2-DOFplanarparallelmechanismwithtwounconstrainedactivelimbsandaproperlyconstrainedpassivelimb,plusa2-DOFrotatingheadattachedtotheplatform.TheBiceptisasimplified2DversionofthewellknownTriceptrobot,featuringlowmanufacturingcostandlargeworkspace.Therobotcanbeemployedasamoduletoconfigurearoboticcellforautomaticdrillingorrivetinginaircraftlargestructuralcomponentsassemblybyaddingatranslationalmotionalongalongreferencetrack.Onthebasisoftheinversepositionanddeformationanalyses,thestiffnessmodelingofthe2-DOFplanarparallelmechanismwithintheBiceptisformulatedbyusingtheoverallJacobianandtakingintoaccountthecompliancesofalllimbcomponentsandjoints.Particularinterestisplaceduponthepreciseformulationofthebendingstiffnessmatrixoftheproperlyconstrainedpassivelimb.ThestiffnessdistributionsthroughouttheentiretaskworkplaceareevaluatedandthemodelingvalidityisverifiedbyacommercialANSYSsoftwareattwospecificconfigurations.Keywords：StiffnessanalysisParallelmanipulators0前言采用数字化自动钻铆装备实现飞机大型构件装配和联接是提高装配效率和质量的有效途径，也是航空制造业的重要发展趋势[1]。目前已有的自动化钻铆装备多采用“C”型布局，如空客A320和A400M的机身装配系统及波音B737和B787的机∗国家高技术研究发展计划重点(863计划，2007AA042001)和国家自然科学基金(51075295)资助项目。20110105收到初稿，20110603收到修改稿身环铆系统等。这种结构布局体积庞大、成本高且缺乏柔性。为了减低制造成本及提高柔性，近年来飞机制造商开始采用串联机器人自动制孔作业单元，如空客采用KUKA机器人建造出飞机水平侧翼上下壁板自动制孔单元[2]。然而，由于这类机器人的刚度和精度较低，故多适于壁板制孔等对精度要求不高的场合。混联机器人因在不同程度上继承了串联机器人/机床在柔性、工作空间、速度、刚度和精度等方面的优点，因此越来越受到飞机制造商的关注，且已用于实际生产中，如Tricept机器人已用于空客A340/500-600复材平尾自动装配[3]，Z3头已机械工程学报第47卷第15期期10用于空客A350宽体客机机翼高速加工[4]，Exechon机器人也将目标瞄准航空制造领域。受Tricept机器人启发，天津大学提出一种4自由度新型混联机器人模块——Bicept[5-7](图1)。该机构由一个2自由度平面并联机构和一2自由度转头串接构成，是著名的Tricept机器人的一种二维形式，具有制造成本低的优点，配以长行程导轨可用于飞机壁板类零件的自动制孔(图2)。图1Bicept机器人图2Bicept用于飞机小臂板钻铆加工概念刚度是满足机器人作业单元的重要性能指标。然而，注意到机器人的刚度随其位形变化，因此需在概念设计阶段快速预估出末端刚度在工作空间内的变化规律，以便为机械结构的详细设计提供必要的理论依据。近年来，国内外许多学者在并联机器人机构刚度建模方法方面做了大量工作，主要方法包括有限元法[8-10]和解析法[11-20]。有限元法虽计算精度高，但因需针对不同位形重新划分网格，故计算效率低。在解析法建模方面，GOLDSMITH等[13-14]研究了3-UPU和3-PRPaR等含欠约束主动支链的并联机构的刚度建模问题，但所建模型仅考虑了支链在驱动方向上变形对其末端刚度的影响。LI等[15-16]以3-PUU和3-RPS并联机构为例，考虑了约束刚度的贡献进而使得模型更具完备性。GOSSELIN等[17-18]采用虚铰链法研究了含恰约束从动支链并联机构的解析建模问题，但因采用一维弹簧描述约束支链的弯曲变形，故建模精度不高。PASHKEVICH等[19]采用六维弹簧提出了一种可用于过约束机构的刚度建模方法，但建模过程比较繁复。王友渔等[12,20]基于全变形雅可比矩阵，建立了Tricept机器人末端刚度的完备解析模型，且在建立系统部件刚度模型时，利用静态凝聚技术和变形协调条件，有效地解决了恰约束支链弯曲刚度的精准建模问题。该方法建模思路清晰且列式简洁，能直观地揭示出系统末端变形在驱动和约束空间中的投影与相应部件弹性间的内在联系，为在整个空间中快速预估系统的刚度提供了一种有力的手段。本文沿用WANG等[20]提出的建模思路，研究Bicept机器人中2自由度并联机构的面内刚度半解析建模问题，并揭示末端刚度在工作空间中随位形变化的规律，旨在为这种机器人的详细机械设计提供理论依据。1Bicept机器人简介及坐标系定义如图1所示，Bicept机器人中的并联机构由机架、动平台及与之相连的3条支链组成。其中2条对称的RPR主动支链的两端分别与动平台和机架通过回转副相连，而恰约束RP支链一端与动平台固接，另一端亦与机架通过回转副连接。在此，R、P分别表示回转副和移动副；P表示主动移动副，可通过伺服电动机与滚珠丝杠螺母副实现。此外，为了实现姿态能力，动平台上串接了一个2自由度转头，进而使得末端执行器可实现4自由度运动。为了获得结构紧凑、刚度质量比高的机器人机构，将主动RPR支链截面设计成内含筋板的中空细长矩形，以有效提高垂直于运动平面的侧向弯曲和扭转刚度；又将恰约束RP支链的截面设计成内部嵌入筋板的中空正方形，以提高其弯曲和扭转刚度。建立图3所示的固定坐标系Oyz，在此O为RP支链回转副中心，()1,2iBi=为RPR主动支链与机架连接的回转副中心点。又建立动平台连体坐标系Ovw′，在此O′为动平台中心，(1,2)iAi=为RPR主动支链与动平台连接的回转副中心，v与21AA重合，w与12AA垂直。在回转副iB建立连体坐标系iiiBvw，其中iw由iB指向iA。如图3所示，a、b和e分别表示动静平台半径及点P距动平台中心的距离。2位置逆解分析位置逆解分析涉及已知机构尺度参数和动平台月2011年8月汪满新等：4自由度混联机器人静刚度分析11图3Bicept机器人结构简图参考点的位置矢量，反求此时各支链的杆长和姿态，其目的是为了确定后续刚度分析中机构各构件位姿参数。参见图3，在坐标系Oyz下，点P的位置矢量r可表示为iiiiq=++rbwc1,2i=(1)r=rw(2)()Tcossiniiiθθ=w()Tcossinθθ=wsgn()iaie=−+cQwwreρ=+2sgn()ibi=be式中，ib和ic分别为iOB和iAP的位置矢量在坐标系Oyz中的度量，iq、iw和iθ分别表示RPR支链i的杆长、单位矢量及其相对于z轴的转角，ρ、w和θ分别表示RP支链的杆长、单位矢量及其相对于z轴的转角。{11sgn()12iii==−=()T201=e0110−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠Q对式(2)两端取模，可得r=rr=rwarctanyxwwθ=(3)由式(1)则可得iiiq=−−rbciiiiq−−=rbcwarctaniyiixwwθ=1,2i=(4)3几何变形分析为了构造RP支链末端变形与各支链变形间的映射关系，对式(1)两端取一阶摄动，得ipqiiiiiqααΔΔΔΔ=++wQwQc1,2i=(5)式中，pΔ和αΔ分别表示由各支链弹性引起的RP支链末端线变形和角变形；iαΔ和iqΔ(1,2)i=分别表示RPR支链i的角变形及沿轴线的线变形。又对式(2)两端取一阶摄动，得00prrαΔΔ=+wQwΔ(6)式中，rΔ表示RP支链相对其转动副的轴向刚体位移；0pΔ和0Δα表示由RPR支链弹性引起的RP支链末端的刚体位移和转角，并可分别写成0ppp′=−ΔΔΔ0αααΔΔΔ′=−(7)式中，p′Δ和Δα′表示仅由RP支链弹性引起其末端的线变形和角变形。将式(5)两端同点乘iw，得TTiipiiqαΔΔ−=wwQcΔ1,2i=(8)将式(7)代入式(6)，并对两端点乘Qw，得()()()0pprααΔΔΔΔΤ′′−−−=Qw(9)又设pvcΔ表示RP支链弹性引起的末端沿v方向(即Qw方向)的线变形，cαΔ表示RP支链绕机构所在平面垂线的角变形，则p′Δ和αΔ′可表示为()pvpcΔ′=QwΔcααΔΔ′=(10)将式(10)代入式(9)并整理成由RP支链弹性引起的末端变形()pvpccrrααΔΔΔΤ−=−QwΔ(11)注意RP支链末端变形满足如下协调条件(证明见第4.3.1节)2pvccbαΔΔ=(12)将式(12)代入式(11)，得()()21pvpcrrbαΔΔΤ−=−QwΔ(13)将式(8)、(13)写成矩阵形式，即可得到Bicept机器人末端(RP支链末端)变形与各支链变形间的映射关系ρΔΔΔ′==JTJ(14)aq=JΔΔ1pvcccΔ−=TJΔ()TpvlcΔΔΔΤ=q()12ΤqqqΔΔΔ=()TTpαΔ=ΔΔ()Τac=JJJ()()T111T222aΤΤ⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠wwQcJwwQc()()Tcr=−JQw221112cT×−×⎛⎞=⎜⎟⎝⎠E0T021cTrb=−′=JTJ式中，aJ和