高等代数§1.8-复系数与实系数多项式的因式分解

§1.8复系数与实系数多项式的因式分解一、复系数多项式1、代数基本定理1定理1每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.推论1若则存在()[],fxx(())1,fx[],xx使得|().xfx即,每个次数的复系数多项式在复数域上1必有一次因式.推论2复数域上不可约多项式只有一次多项式.即若则可约.()[],fxx(())1,fx()fx2、复系数多项式因式分解定理定理2若则在()[],fxx(())1,fx()fx复数域上可唯一分解成一次因式的乘积.推论3若则在()[],fxx(())1,fx()fx上具有标准分解式1212()()()()srrrsfxaxxx12,,.srrr,其中是不同的复数，12,,,s推论4每个次复系数多项式恰有个根(重nn根按重数计算).3、韦达定理定理3设1110()nnnnfxaxaxaxa有个复根,则n12,,,n11(1),nniinaa121221(2)niiiinnaa12121()(1)kkknkiiiiiinnaka012()(1)nnnana二、实系数多项式命题1若是实系数多项式的复根,则()fx的共轭复数也是的根.()fx110()0nnnnfaaa两边取共轭有∴也是为复根．()fx1100nnnnaaa证：110(),nnnnifxaxaxaa设若为的根，则()fx即,110()0nnnnfaaa命题2实系数不可约多项式只能是一次多项式和某些二次多项式.证:设是实系数不可约多项式.()px若下证即可.(())1,px(())2px由代数基本定理,存在复根()px则也是的根,即()px|(),|().xpxxpx注意到(,)1xx(否则,,则在上()px存在一次因式,这与实不可约相矛盾.)()px所以,()()|().xxpx又实不可约且()()[],xxx()px所以是二次多项式.()()()pxcxx实系数多项式因式分解定理，若,则可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．()[]fxx(())1fx()fx定理4(实系数多项式因式分解定理)12121211()()()()()skkkknsfxaxcxcxcxpxq1211,,,,,,,,,,srrcccppqq其中11,,,,,,sskkll不可约多项式.2()rkrrxpxq()[],fxx()fx推论5设则在上具有标准分解式且，即为上的240,1,2iipqir2iixpxq例求在上与在上的标准分解式.1nx1)在复数范围内有n个复根，1nx解：211,,,,n22cossin,1,2,,kkkiknnn∴211(1)()()()nnxxxxx22cossin,inn这里2)在实数域范围内,knk∵22cos1,kkkkkn,1,2,,kn∴当n为奇数时2111(1)[()]nnnxxxx111122222[()]nnnnxx2221(1)(2cos1)[2cos1]nxxxxxnn当n为偶数时2111(1)(1)[()]nnnxxxxx222222222[()]nnnnxx2222(1)(1)(2cos1)[2cos1]nxxxxxxnn