高等代数(北大第三版)第一章多项式-1.8

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、复系数多项式二、实系数多项式§1.8复系数于是系数多项式的因式分解1.代数基本定理一、复系数多项式若则在复数域()[],fxCx(())1,fx()fx上必有一根．C推论1()[],fxCx(())1,fx若则存在[],xaCx()|().xafx使即，()fx在复数域上必有一个一次因式．§1.8复系数于是系数多项式的因式分解推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即则可约．()[],fxCx(())1,fx()fx2.复系数多项式因式分解定理若则在复数域()[],fxCx(())1,fx()fxC上可唯一分解成一次因式的乘积．§1.8复系数于是系数多项式的因式分解推论1推论2若则在()[],fxCx(())1,fx()fxC1212()()()()srrrsfxaxxx12,,Zsrrr+,其中是不同的复数，12,,,s上具有标准分解式复根（重根按重数计算）．若，则有n个()[]fxCx，(())fxn()fx§1.8复系数于是系数多项式的因式分解二、实系数多项式命题：若是实系数多项式的复根，则的共轭复数也是的复根．()fx()fx若为根，则110()0nnnnfaaa两边取共轭有∴也是为复根．()fx110()0nnnnfaaa证：110(),nnnnifxaxaxaaR设§1.8复系数于是系数多项式的因式分解实系数多项式因式分解定理，若，则可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．()[]fxRx(())1fx()fx证：对的次数作数学归纳．()fx①时，结论显然成立.(())1fx②假设对次数n的多项式结论成立．设，由代数基本定理,有一复根．(())fxn()fx若为实数,则，其中1()()()fxxfx1()1.fn§1.8复系数于是系数多项式的因式分解若不为实数，则也是的复根，于是()fx222()()()()(())()fxxxfxxxfx设，则abi,abi22abR即在R上是一个二次不可约多项式．2()xx2aR,从而2()2.fn由归纳假设、可分解成一次因式与二次1()fx2()fx不可约多项式的乘积．由归纳原理，定理得证．§1.8复系数于是系数多项式的因式分解在R上具有标准分解式()[],fxRx()fx12121211()()()()()skkkknsfxaxcxcxcxpxq推论11211,,,,,,,,,,srrcccppqqR其中11,,,,,,sskkllZ且，即为240,1,2pqir2ixpxqiR上的不可约多项式.2()rkrrxpxq§1.8复系数于是系数多项式的因式分解推论2实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二例1求在上与在上的标准分解式.1nxCR1)在复数范围内有n个复根，1nx次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.解：211,,,,n§1.8复系数于是系数多项式的因式分解22cossin,1ninn22cossin,1,2,,kkkiknnn∴211(1)()()()nnxxxxx2)在实数域范围内这里,knk∵22cos1,kkkkkn1,2,,kn§1.8复系数于是系数多项式的因式分解∴当n为奇数时2111(1)[()]nnnxxxx111122222[()]nnnnxx2221(1)(2cos1)[2cos1]nxxxxxnn当n为偶数时2111(1)(1)[()]nnnxxxxx222222222[()]nnnnxx2222(1)(1)(2cos1)[2cos1]nxxxxxxnn