概率模型9.6-航空公司的预定票策略

航空公司的预定票策略主讲人：袁仁杰刘帅季泽林问题背景在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量恰好等于飞机的容量，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。而如果不限制预订票数量，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨，公司不管以什么方式补救，也会导致声誉受损和一定的经济损失，如客源减少、挤掉以后班机的乘客、公司无偿供应食宿、付给一定的赔偿金等。所以航空公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票数量的最佳限额。问题重述问题一：只考虑公司的经济利益，怎样确定航班的预定票数量。问题二：公司为争取更多的客源只考虑经济利益，对该公司的长久利益而言，肯定不是最佳的，所以公司还考虑社会声誉问题，公司当然希望被挤掉的乘客越少而乘坐的航班的乘客越多，这种情况下，去确定该航班的预订票数量。问题分析公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登机、但因满员不能飞走的乘客（以下称被挤掉者）限制在一定数量为标准，注意到这个问题的关键因素---预订票的乘客是否按时前来登机---是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应在平均意义下衡量，这是两目标的优化问题，决策变量是预订票数量的限额。模型假设1.飞机容量是常量n，机票价格为常数g，飞行费用为常数r，r与乘客数量无关，机票价格按照g=r/λn来制订，其中λ（1）是利润调节因子，如λ=0.6表示飞机60%满员率就不亏本。2.预订票数量的限额为常数m（n），每位乘客不按时前来登机的概率为p，且相互独立。3.每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b。模型建立问题一公司的经济利益可以用平均利润S来衡量；每次航班的利润s=机票收入—（飞行费用+可能发生的赔偿金）当m位乘客中有k位不按时前来登机时S=（1）由假设2，不按时前来登机的乘客数k服从二项分布，概率为（2）nkmbnkmrngnkmrgkm,........)(...........,.........)（pqqpCkKPkmkkmkp1,)(问题一那么平均利润S（即s的期望）（3）化简（3）式，并注意到，（4）当给定n,g,r,p时，可以求得m使得S（m）最大。mnmkkknmkprgkmpbnkmrngmS])[(])([)(10mkkmpkp010)()()(nmkkpnkmbgrqmgmS模型建立问题二2.从社会声誉和经济利益两方面考虑，应该要求被挤掉的乘客不要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标。记被挤掉的乘客数超过j人的概率为，因为被挤掉的乘客数超过j人，等价于不能前来登机的乘客数不能超过m-n-j-1人综上，虽是这个优化问题的两个目标，但是我们可以将不超过某给定值作为约束条件，以S（m）为单目标函数来求解。10)(jnmkkjpmP)(,mPmj)(和)(mPmSj)(mPj模型求解化为单目标求解，先将（4）式除以r，变为J（m），g=r/λn（6）b/g------赔偿金占机票价格的比例.问题化为101])()1([1)()(maxnmkkpnkmgbqmnrmSmJ101])()1([1)()(maxnmkkpnkmgbqmnrmSmJ10)(jnmkkjpmP（7）模型求解模型（6）与模型（7）无法求解析解，我们设定几组数据，给出数值解（1）当n=300，λ=0.6，p=0.03，b/g=0.1，0,2和0.4，α=0.05时，计算J（m)和P5（m）Matlab程序如下（此程序是b/g=0.1情形，0.2和0.4类似）：结果如表所示(表1)mJ(m)(b/g=0,1)J(m)(b/g=0,2)J(m)(b/g=0,4)P5(m)3050.63640.63640.63649.2338e-0053060.64900.64900.64909.3423e-0043070.65420.65420.65420.00483080.65920.65920.65920.01673090.66370.66370.66370.04423100.66700.66690.66630.09523110.66970.66910.66790.17423120.67080.66980.66790.27963130.67080.66930.66640.40283140.66980.66780.66380.53143150.66840.66570.66040.65253160.66670.66340.65680.75663170.66510.66120.65330.83883180.66370.65910.65010.89903190.66250.65740.64710.93993200.66150.65580.64430.9661从表1可以看出，当m=309时，社会声誉指标P5（309）=0.04420.05,当m=310时，社会声誉指标P5（310）=0.09520.05,所以为了使J（m）尽量大，且要满足社会声誉指标小于0.05，则最佳订票数量可取为m=309.画出表1中m和P5(m)的关系图，其MATLAB程序如下：画出表1中m和J(m)的关系图，模型求解（2）当n=150，λ=0.6，p=0.05，b/g=0.1，0,2和0.4，α=0.02时，计算J（m)和P5（m），程序与（1）类似，结果如表2所示mJ(m)(b/g=0,1)J(m)(b/g=0,2)J(m)(b/g=0,4)P5(m)1550.63610.63610.63613.5250e-0041560.64650.64650.65640.00311570.65630.65630.65610.01371580.66500.66480.66430.04161590.67170.67110.66990.09671600.67580.67460.67230.18421610.67710.67510.67100.30101620.67600.67290.66670.43521630.67320.66890.66020.57111640.66960.66400.65280.69421650.66590.65900.64520.7951从表2可以看出，当m=309时，社会声誉指标P5（157）=0.01370.02,当m=158时，社会声誉指标P5（158）=0.04160.02,所以为了使J（m）尽量大，且要满足社会声誉指标小于0.05，则最佳订票数量可取为m=157.表2中m与P5(m)的关系图如下：表2中m与J(m)的关系图如下：结果分析（1）对于所取的n,p,b/g，平均利润J(m)随m的增加，先单调递增（达到最大后）再单调递减，但在最大值附近变化不大，而被挤掉的乘客数超过5的概率增加的相当快，所以应该参考J(m)的值尽量大，并结合给定约束条件式可接受的，确定适合的m.（2）对于一定的n,p,当b/g有些变化时（如从0.1,0.2到0.4），J(m)变化微小（不超过2.1%，表1和表2），所以，不妨付给被挤掉的乘客以较多的赔偿金，赢得社会声誉.（3）综合考虑经济效益和社会声誉，当n=300,=0.6，p=0.03,b/g=0.1,0.2和0.4时，给定P5（m）0.05,由表1，则最佳订票数可取m=309；当n=150，λ=0.6，p=0.05，b/g=0.1,0.2和0.4时，给定P5（m）0.02，由表2，则最佳订票数可取m=157.对机票预定限额模型的优化：考虑到不同客源的实际需求，如商业界、文艺界人士喜欢这种无约束条件的预订票业务，他们宁愿接受更高的票价，而不按时前来登机的可能性较大；游客与按时上下班的雇员，会愿意以不按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。所以，航空公司为了降低风险，可以把上述第2类乘客作为基本客源，对他们降低票价，但购票时即付款，不能按时前来登机即机票作废。设预订票数量m中有t张是专门预售给第二类乘客的，其折扣票价为βg（β1），当m-t位第1类乘客中有k位不按时前来登机时每次航班的利润s为k位乘客不按时前来登机的概率为nkmbnkmrgtngtnkmrgts＞）（,......)()(.................,.........k-t-mpqqpCpktmkktmk1,平均利润S为正常票价g，折扣票价g，利润调节因子λ与飞行费用r间的关系为于是，单位费用获得的平均利润为10])([])()([)(nmktmnmkkkprgktmgtpbnkmrgtngtmS11)()()(nmkktgqpnkmbgrqmgrgtngt])([约束条件—被挤掉的乘客数超过j人的概率不变取β=0.75,t=50,100,150，其它结果同上，计算结果表明，当t增加时J（m）和均有所减少.101])()1()([])1([1)(nmkkpnkmgbtqqmtnmJ)(mPj请批评指教