初等数学研究--几何部分-第三章--初等几何变换

第3章初等几何变换主要内容：1．合同变换（平移、旋转、反射）；2．位似变换；3．反演变换。寻找不变量的思想，已经渗透到几乎整个数学，从研究射影不变量到拓扑不变量，相对论中的罗伦兹不变量，纤维丛中的陈省身不变量，都是影响数学全局的大事，寻找变化中的不变的性质，是人类共同的追求。目标：1872年，德国数学家F·克莱因提出了著名的变换群理论。他在20世纪初关注中学数学改革，担任第一届“数学教育委员会（ICMI）”的主席。他的几何变换思想也逐渐渗透到中学数学。在20世纪的数学教育改革历程中，几何学课程受到变换几何思想越来越大的影响。连接：将几何变换纳入到中学几何课程，仍有不少问题需要克服，主要是变换观点和传统欧式演绎几何还没有十分密切的衔接，有时变成两张皮，突然增加了学习者的负担；此外，几何变换的论证语言还没有规范，在论证一个命题时，叙述的随意性较大；最后缺乏足够数量的例题和练习题，也是制约几何变换的一个困难。困难：变换几何有什么值得肯定的地方？（张奠宙，沈文选，《中学几何研究》，118页）1．变换使得几何由静态转向动态．几何学不再仅仅是对静止图形的观察、思考和论证．变换几何的对象可以操作，例如轴对称和折纸等。2．变换是学生认识图形的工具。通过轴对称、旋转对称、中心对称，以及相似、位似等变换，可以对矩形、正三角形、等腰三角形、平行四边形、菱形等常见图形有更深刻的认识。3．变换可以作为论证的一种手段。三角形的全等，是用合同变换来实现的。尺规作图是将已知的线段和角度，进行移动。在论证上也带来很多方便。例如等腰三角形的性质，用对称很容易说明．再如圆外一点向定圆作两条切线，彼此一定相等。这是可以用圆的对称性加以说明的。§3.1变换一、什么是变换？定义1满足⑴几何到自身；⑵是一一对应。则为集合上的一个变换。注：①保证变换乘积有意义；②保证变换的可逆性。简言之，集合到自身的一一变换，称为变换。平面到自身的一一映射，称为几何变换。二、变换的乘法及其性质定义2设是集合上的两个变换，如果，有且，那么由确定的对应为两变换之积，记为或.简言之，把接连施行几次的变换称为变换的乘法，其结果叫做变换的积。注一般地，．换言之，变换的乘法一般是非交换的。定理变换的乘法满足结合律。证明设是集合上的三个变换，，有,，且，往证，有，，PS1()fPP2()fPP212[()]()ffPfPPf12,ff12,ffS21fff21fff1221ffff123,,fffSPS1()fPP2()fPP3()fPP321321()()ffffffPS32132()()()()fffPffPP3213()()()fffPfPP321321()()ffffff三、两个特殊的变换1．恒等变换定义3则为集合的恒等变换。简言之，使集合中每一个元素都变为自身的变换，称为恒等变换。结论2．逆变换定义4设是集合上的两个变换，若，则称是的逆变换，记为。:ISS()aaIaISIffIf,fgSfggfIgf1gf四、变换群定义5在由一类变换组成的集合中，若符合以下两个条件：⑴可逆性：若，则，⑵封闭性：若，，则，则称集合为一个变换群。简言之，集合的若干个一一变换关于乘法构成的群，称为集合的一个变换群。GfG1fG1fG2fG12ffGGGG链接设是一个非空集合，在存在一种运算·，有⑴封闭性；——广群（代数系统）⑵结合律；⑶单位元；⑷逆元（非单位元的元素都有逆元）。则称关于·是一个群。GGG半群单胚例如①正变为自身的变换集合记为．第一类：旋转对称．令，无旋转；，顺时针旋转；，顺时针旋转。ABCG0ABCfABC1ABCfBCA1202ABCfCAB240第二类：反转变换（反射对称）．令，绕翻转；，绕翻转；，绕翻转。3ABCfACB4ABCfCBA5ABCfBACAD180BE180CF180②是否能构成群．验证⑴积的封闭性：如，⑵逆元问题：（为单位元），（恒等变换）．说明⑴对合变换：变换满足①，②如上述⑵子群：群满足．如上述有6个子群，分别为，，，，，．012345{,,,,,}Gffffff253ABCfffACB12210fffffI0f334455ffffffIfffI1ff345,,fffGGGGG00{}Gf101{,}Gff2012{,,}Gfff30123{,,,}Gffff401234{,,,,}Gfffff5012345{,,,,,}Gffffff§3.2合同变换一、合同变换的定义和性质1．合同变换的定义定义1平面到其自身的变换，如果对于该平面上任意两点、和它的对应点、之间，恒有，这个变换叫做平面上的合同变换，记为，，．2．合同变换的性质（基本不变性）⑴合同变换下保持两点之间距离不变（保距性）；⑵合同变换下，保持两直线夹角大小不变（保角性）．WABABABABWAAWBBWABAB3．合同变换的确定说明平面上的合同变换由不共线的三双对应点确定．定义2图形图形，则称与合同（全等）定义3对于同一平面的两个三角形和．如果沿周界的方向有正向（逆时针方向）或负向（顺时针方向），分别称为不同的定向．定义4一个合同变换把变成与它有相同定向的这个合同变换称为第一类合同变换；把变成与它有相反定向的，这个合同变换称为第二类合同变换。定义5在两个合同图形上的两个对应三角形有同一定向，且对应角也有同一定向，这两个图形称为真正合同；在两个合同图形上的两个对应三角形有相反定向，且对应角也有相反定向，这两个图形称为镜像合同．WFFFFABCABCABCAABCABCABCABC第一类合同变换（真正合同）（定向相同）（运动群）第二类合同变换（镜像合同）（定向相反）（不构成群）⑴⑵图3-2-1链接二、合同变换的特例——平移、旋转、反射1．平移⑴定义定义6平面到其自身的变换，如果对于每一个点以及对应点，都有（其中为给定的已知向量），那么这个变换叫做平面上的平移变换，简称平移，记为．注①向量的方向为平移的方向，模为平移的距离。一个向量确定一个平移。②零向量确定的平移为恒等变换。③适应于平行四边形情形。PPPPaa()Taa||a⑵表述：令或令图形图形，则图形图形．⑶性质①平移变换下，两点间距离不变；②平移之积是平移；③平移的逆变换是平移。()TXXaF()TaFFF平面上所有平移的集合构成群，称为平移群。平移群是合同变换群的子群。例1设是平行四边形内一点，且，试证．证作，则，∴，，∵，∴∥∥，∴，．又∵，∴，∴、、、四点共圆，∴，∴，故得证。PABCDPABPCBPBAPDA()TADABPDCPABPDCP1367PPADBCBCPPAD24581234PCPD785612345678图3-2-22．旋转⑴定义定义7一个平面到它自身的变换，如果存在一个定点，以及定角，使得对于平面上每一点，及其对应点，满足两条：①；②．从射线到的方向与已知角的方向相同。这个变换就叫做关于点的转角为的旋转变换，简称旋转，记作．其中，点称为旋转中心，称为旋转角。注旋转变换由旋转中心和旋转角确定。OPPOPOPPOPOPOPO(,)ROOO⑵表述：令或令图形图形，则图形图形．特别地，当时为点反射。⑶性质①旋转变换下，两点间距离保持不变；②角度是旋转变化下的不变量；③旋转把任意图形变换成与它真正合同的图形；④在旋转变换下直线与其对应直线之间的夹角等于旋转角；证明如图3-2-3所示，设、为直线上任意两点，令，，且设、、不共线。延长交于点，连结、．∵，∴、、、四点共圆，∴．(,)ROPPF(,)ROFFFAB(,)ROAA(,)ROBBOABBAABCOCBB12OCBBBCBBOB⑤关于同一旋转中心的两次旋转的乘积是一个旋转；⑥旋转变换的逆变换是旋转变换；⑦同一个旋转中心的所有旋转变换构成一个群，称为旋转群．旋转群是合同变换群的子群。例2设为正内一点，，，，求的边长．解如图3-2-4所示，令，则≌，∴，，∴为正三角形，∴，，由勾股定理的逆定理，知，∴.在中，由余弦定理，知．PABC3PC4PA5PBABC(,60)RCBCPACPBCPACP3PCPC5PAPBPCP3PPPC60PPC90APP150APCAPC25123ACABC5P45333图3-2-4P'3．反射⑴定义定义8一个平面到它自身的变换，如果存在一条直线，使对于平面上的每一点及其对应点其连线都被定直线垂直平分，那么这个变换就叫（直线）反射变换，简称反射，记作．其中，称为反射轴。⑵表述：令或令图形图形，则图形图形．⑶性质①直线反射变换下两点间距离不变；②直线反射变换下角的大小不变，但方向相反。③在直线反射变换下，任意图形变换成与它镜像合同的图形。lPPPPl()Sll()SlPPF()SlFFF⑷应用例3中，，为三角形内一点，，求的度数。解∵，，，∴，，.作，如图3-2-5所示，则，，∴为正三角形，∴，∴．又∵，∴≌，∴，∴．∵，有，∴、、、四点共圆，∴，故．ABCABACO80BAC10OBC20OCBCAO80BAC10OBC20OCB40ABO30OCA150BOC()SlAOCADC60OCDCOCDOCD60COD150BODBOCBOOBODOCBODBOCBDBC80BDCBCD80BACBACBDCABCD20CADDBC20CAOABCOD图3-2-51020例4为内一点，，，，，求的度数。解如图3-2-6所示，作垂足为，延长交于，连结，则，又∵，∴，∴，∴．OABCABAC80BAC10OBC30OCBAOBADBCDCOADMBMBAM40BOM20ABMOBMBMMBABMOBMBABO180702ABOAOBABCOMD图3-2-610304．平移、旋转、反射之间的关系（反射变换的乘法）定理1反射轴平行的两个反射之积是一个平移．证如图3-2-7所示，设∥，与之距为，方向为从到．令，即．设交于，交于．∵，∴，∴．1l2l1l2l||a1l2l12()()SlSlPPP21()()SlSlPPPP1l1PPP2l2P12122()22PPPPPPPPPPPPa(2)TPPa21()()(2)SlSlTa图3-2-7a1l2l1P2PP'P''P定理2反射轴相交的两反射之积是一个旋转．证如图3-2-8所示，设和相交于点，夹角为．令，即．设交于，交于．∵，，，∴，∴∴．1l2lO12()()SlSlPPP21()()SlSlPPPP1l1PPP2l2POPOPOP1PPl2PPl1222POPPOP(,2)ROPP21()()(,2)SlSlRO图3-2-8O2l1lP1P2PP''P注定理1、定理2的逆命题均成立。定理3任何一个合同变换都可以表示为不多于三个反射的乘积。图3-2-9⑵图3-2-9⑴ABBACC1l1l2l2lAACC1B1BBB1C1C3l2C5．旋转变换