双曲线专题复习(精心整理).

《圆锥曲线》---------双曲线主要知识点1、双曲线的定义:(1)定义：_____________________________________________________________(2)数学符号：________________________(3)应注意问题：2、双曲线的标准方程：图像标准方程不同点相同点注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质标准方程性质焦点焦距范围顶点实轴虚轴对称性离心率渐近线注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？（3）当时ba，双曲线有什么特点？4．双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系①已知双曲线段的标准方程是22221xyab(0,0)ab（或22221(0,0)xyabba），则渐近线方程为________________________________________________________________；②已知渐近线方程为0bxay，则双曲线的方程可表示为__________________________。（2）待定系数法求双曲线的方程①与双曲线22221xyab有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________；②若双曲线的渐近线方程是byxa，则双曲线的方程可表示为_____________________；③与双曲线22221xyab共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________；④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________；⑤与椭圆22221xyab(0)ab有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________。5．双曲线离心率的有关问题（1）cea，1e，它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大。（2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2e。（3）双曲线离心率及其范围的求法。①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a．与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；b．通过判别式；c．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d．利用解析式的结构特点。6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算（1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________注意:如何来判断位置关系？（2）若斜率为k的直线被双曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则相交弦长AB_____________________二、典型例题：考点一：双曲线的定义例1已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与圆C2：(x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.变式训练：由双曲线4922yx=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.巩固训练：(1).F1、F2是双曲线162x－202y=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.(2).过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是.(3).一动圆与两定圆122yx和012822xyx都外切，则动圆圆心轨迹为A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线考点二：双曲线的方程例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线16922yx=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）；（2）与双曲线41622yx=1有公共焦点，且过点（32，2）.变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,（1）若双曲线经过P（6，2），求双曲线方程；（2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程；（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.巩固训练：(1)求与椭圆221255xy共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程；(2)中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，求双曲线的标准方程；(3)已知双曲线的离心率2e，经过点(5,3)M，求双曲线的方程；(4)与双曲线1422yx有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程;(5)已知双曲线12222byax(a0,b0)的两条渐近线方程为xy33，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________.(6).已知方程22121xymm表示双曲线，则m的取值范围是__________________.(7).经过两点)3,72(),26,7(BA的双曲线的标准方程为___________.考点三：双曲线的几何性质例3双曲线C：2222byax=1(a＞0,b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使AP·PQ=0，求此双曲线离心率的取值范围.变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2,且过点P（4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：1MF·2MF=0；（3）求△F1MF2的面积.巩固训练：（1）已知双曲线12222byax(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：A.1B.2C.3D.4(2)已知双曲线2221(2)2xyaa的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为:A.2B.3C.263D.233(3)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________.(4)双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点为F(4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于x轴的垂线交双曲线的渐近线于A，B两点，O为为坐标原点，则△AOB面积的最大值为:A.8B.16C.20D.24考点四：双曲线的离心率例1、已知F1、F2分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过F1作垂直于X轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△AF2B是直角三角形，求双曲线的离心率。变式训练：1、若△AF2B是等边三角形，则双曲线的离心率为__________。2、若△AF2B是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。3、若△AF2B是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。巩固训练：1、已知F1、F2分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过F2作倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。2、已知F1、F2分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过F2作垂直于渐近线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。3、直线1kxy与双曲线422yx没有公共点，则k的取值范围为_______,有两个公共点，则k的取值范围为_______,有一个公共点，则k的取值范围为_______,与左支有两个公共点，则k的取值范围为_______。考点五：双曲线中的焦点三角形例、设F1和F2为双曲线22xy1169的两个焦点，P是双曲线上一点，已知∠F1PF2=600求△F1PF2的面积变式训练：设F1和F2为双曲线22xy1169的两个焦点，P是双曲线上一点，已知∣PF1∣∣PF2∣=32,求∠F1PF2的余弦值与三角形F1PF2面积巩固训练：1.双曲线221169xy左焦点1F的弦AB长为6，则2ABF△（2F为右焦点）的周长是____________2、已知定点AB，，且6AB，动点P满足4PAPB，则PA的最小值是．3、设F1和F2为双曲线22xy14的两个焦点，P为双曲线上一点，若∠F1PF2=900,则三角形F1PF2面积是4、设F1和F2为双曲线22xy1169的两个焦点，P是双曲线上一点，已知∠F1PF2=600则P点到F1和F2两点的距离之和为___________5、已知双曲线C2222xy1ab（a0,b0）的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点P（3，7）在双曲线C上（1）求双曲线C的方程（2）记O在坐标原点，过Q（0，2）的直线L与双曲线C相交于不同的两点E,F，若△OEF的面积22，求直线L的方程考点六：直线和双曲线的位置关系例4.已知曲线22221(0,0)xyabab的离心率233e，直线l过A(a，0)、B(0,)b两点，原点O到l的距离是32。(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若23ONOM，求直线m的方程。变式训练：直线12:1:22yxCkxyl与双曲线的右支交于不同的两点A、B.（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.巩固训练：1、已知双曲线2222xy的左、右两个焦点为1F,2F，动点P满足|P1F|+|P2F|=4.求动点P的轨迹E的方程；设过2F且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：终段O2F上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.2、已知双曲线C：12x-2y=1（0＜＜1）的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使OM·ON=0，其中点O为坐标原点.3、已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0.(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281,求k的取值范围.