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一、复习引入定义：(三线合一)等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形。性质1：等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)性质2：等腰三角形的底边上的中线和高线、顶角平分线互相重合。OAB如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？问题情境：探究新知●操作一做一做你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？●操作二量一量，线段AB与AC的长度。画△ABC.使∠B＝∠C＝30°AB=AC怎样用数学推理进行证明呢？ABCD12已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC你还有其他证法吗?证明:作∠BAC的平分线AD∴∠1=∠2在△BAD和△CAD中如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等∠B=∠C(已知)∠1=∠2(已证)AD=AD(公共边)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)∴△BAD≌△CAD(A.A.S.)∵证明：作AD⊥BC，垂足为D∴∠ADB=∠ADC=900在△BAD和△CAD中，∠B=∠C(已知)∠ADB=∠ADC(已证)AD=AD(公共边）∴△BAD≌△CAD（A.A.S.）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC∵□ABCD□ABC如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等几何语言：∵∠B=∠C(已知)∴AB=AC(等角对等边)等腰三角形的判定定理：(简写成“等角对等边”)。注意：在同一个三角形中应用哟！等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是:1.等边等角2.三线合一判定是:等角等边已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.求证:BD=CE.证明：∵DE∥BC∴∠1=∠B,∠2=∠C∵∠1=∠2∴AD=AE(等角对等边)∠B=∠C(等量代换)∴AB=AC(等角对等边)∴AB-AD=AC-AE即BD=CEBCEAD21已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC求证：AB=ADABCD证明：∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠ADB(等量代换)∴AB=AD(等角对等边)∴AB=AC(等角对等边)已知：在△ABC中，∠1=∠3,∠2=∠4，AD平分∠BAC。求证：AD⊥BCABCD1234证明：∵∠1=∠3,∠2=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4即∠ABC=∠ACB∴AB=AC(等角对等边)∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴AD在等腰△ABC的顶角的角平分线上∴AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)例：如图,上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离解：∵∠NAC=40°∠NBC=80°∴∠C=∠NBC-∠NAC=80°-40°=40°∴∠C=∠A∴BA=BC（等角对等边）∵AB=20×（12-10）=40（海里）∴BC=40（海里）答：B处到达灯塔C的距离为40海里。小试牛刀80°40°NBAC北在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系∴∠2＝∠ABO，∠3＝∠ACOOABCEF若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？(1)中结论还成立吗？解：EF=BE+CF理由如下：ABCOEF1324∵EF∥BC∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB∴∠1＝∠ABO∠4＝∠ACO∴BE＝EOFC=FO(等角对等边)∵EF=EO+FO∴EF＝BE+FC求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。EBADC21已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC求证：AB=AC分析：要证AB=AC，就要证∠B=∠C，而已知有∠1=∠2，只要找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系就可以了。解：∵AD∥BC∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等）∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2∴∠B＝∠C(等量代换)∴AB=AC(等角对等边）EBADC21已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC。求证：AB=ACABC从以上讲解我们可以得到什么结论？已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C求证：AB=AC=BC这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。符号语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．细心观察，探索性质等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．CABABC60°60°你又可以得到什么？已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）求证：AB=AC=BC推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法。等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．CAB符号语言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°∴△ABC是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°．∴∠A=∠ADE=∠AED=60°．∴△ADE是等边三角形．△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形.ABCDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°∵DE∥BC∴∠ABC=∠D=60°∠ACB=∠E=60°∴∠A=∠D=∠E=60°∴△ADE是等边三角形动脑思考，变式训练变式1：若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ADEBC变式2：若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=∠B=∠C=60°∵DE∥BC∴∠B=∠D=60°∠C=∠E=60°∴∠EAD=∠D=∠E=60°∴△ADE是等边三角形ADEBC证明：延长BC到D，使BD=AB，连结AD，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°,∴∠B=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-30°=60°∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)由等边三角形的性质可知，AC也是BD边上的中线，已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．21ABCD2121∴BC=BD=AB．追问：你还能用其他方法证明吗？30°60°证明：作∠BCE=60°，交AB于E，连结CE，∵∠ACB=90°∴∠ACE=90°-60°=30°在△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B=90°-∠A=60°在△BCE中，∵∠BCE=60°,∠B=60°∴∠BEC=∠BCE=∠B=60°∴△BCE是等边三角形．∴BC=BE=CE．EABC已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．21在△ACE中，∵∠A=30°，∠ACE=30°∴△AEC是等腰三角形．∴CE=AE．∴BC=BE=CE=AE．21∴BC=AB．60°30°30°60°符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，动手操作，探索性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC∴BC=AB．2130°5课堂练习练习1如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为．BC30°1课堂练习练习2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=.BCD30°4260°30°如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．X0X02X0X02X02X0X0X0+X0+2X0+X0+X0=1800解得X0=300∴∠BAC=4×300=1200如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．解：∵PQ=AP=AQ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=600∴∠B+∠BAP=∠APQ=600∠C+∠CAQ=∠AQP=600∵AP=BP,QC=AQ,∴∠B=∠BAP=300∠C=∠CAQ=300，∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=300+600+300=12001、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°。分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。72°等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BCD。36°36°72°36°2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？解：根据题意，得∠D=∠F，AD=CF在△DEA和△FEC中ABCDEABCDEF∵∠DEA=∠FEC(对顶角相等)∠D=∠F(已证)AD=CF(已证)∴△DEA≌△FEC(A.A.S.)∴EA=EC(全等三角形的对应边相等)∴△AEC是等腰三角形3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB。求证：OC=OD。BADC5、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD证明：∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠ADB∴AB=AD4、已知：如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。等腰直角三角形有：△ABC，△ACD，△BCD。ACDB