圆锥曲线的综合课件A

复习课:圆锥曲线的综合遂宁市安居育才中学贺永生1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是．(2)以这个方程的解为坐标的点都是．那么这个方程叫做，这条曲线叫做．基础知识梳理这个方程的解曲线的方程方程的曲线曲线上的点基础知识梳理如果只满足第(2)个条件，会出现什么情况？【思考·提示】若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式．2．直线与圆锥曲线的位置关系基础知识梳理设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，f(x，y)＝0，得ax2＋bx＋c＝0.(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则①Δ0，直线l与圆锥曲线有交点．②Δ＝0，直线l与圆锥曲线有公共点．③Δ0，直线l与圆锥曲线公共点．(2)若a＝0，当圆锥曲线为双曲线时，l与双曲线的渐近线；当圆锥曲线为抛物线时，l与抛物线的对称轴．基础知识梳理平行平行一无两基础知识梳理3．弦长公式直线l：y＝kx＋b，与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2(y1＋y2)2－4y1y2.1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B三基能力强化2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π答案：B三基能力强化A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：A三基能力强化3．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()三基能力强化4．(2009年高考上海卷)过点A(1,0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y2＝2x交于M、N两点，则|MN|＝________.答案：26答案：x2－4y2＝1三基能力强化5．设P为双曲线x24－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是______________．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．课堂互动讲练考点一求动点的轨迹方程(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)相关点法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．课堂互动讲练(5)参数法：当动点P(x，y)的坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．课堂互动讲练课堂互动讲练例1已知A(－1,0)，B(1,4)，在平面上动点Q满足QA→·QB→＝4，点P是点Q关于直线y＝2(x－4)的对称点，求动点P的轨迹方程．【思路点拨】由已知易得动点Q的轨迹方程，然后找出P点与Q点的坐标关系，代入即可．课堂互动讲练【解】法一：设Q(x，y)，则QA→＝(－1－x，－y)，QB→＝(1－x,4－y)，故由QA→·QB→＝4⇒(－1－x)(1－x)＋(－y)(4－y)＝4，即x2＋(y－2)2＝32.所以点Q的轨迹是以C(0,2)为圆心，以3为半径的圆．∵点P是点Q关于直线y＝2(x－4)的对称点．∴动点P的轨迹是一个以C0(x0，y0)为圆心，半径为3的圆，其中C0(x0，y0)是点C(0,2)关于直线y＝2(x－4)的对称点，即直线y＝2(x－4)过CC0的中点，且与CC0垂直，课堂互动讲练课堂互动讲练于是有y0－2x0－0×2＝－1y0＋22＝2(x0＋02－4)，即2y0＋x0－4＝0y0－2x0＋18＝0⇒x0＝8y0＝－2.故动点P的轨迹方程为(x－8)2＋(y＋2)2＝9.即x2＋(y－2)2＝32(*)设点P的坐标为P(u，v)，∵P、Q关于直线l：y＝2(x－4)对称，课堂互动讲练法二：设Q(x，y)，则QA→＝(－1－x，－y)，QB→＝(1－x,4－y)，故由QA→·QB→＝4⇒(－1－x)(1－x)＋(－y)(4－y)＝4，课堂互动讲练∴PQ与直线l垂直，于是有v－yu－x＝－12①因为PQ的中点在l上，所以有y＋v2＝2(x＋u2－4)②由①②可解得x＝15(－3u＋4v＋32)y＝15(4u＋3v－16)，代入方程(*)得(－3u＋4v＋32)2＋(4u＋3v－26)2＝(3×5)2，化简得u2＋v2－16u＋4v＋59＝0⇒(u－8)2＋(v＋2)2＝9.故动点P的轨迹方程为(x－8)2＋(y＋2)2＝32.【规律小结】求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．课堂互动讲练(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．课堂互动讲练判断直线与圆锥曲线的公共点个数问题有两种方法：(1)代数法，即将直线与圆锥曲线联立得到一个关于x(或y)的方程，方程根的个数即为交点个数，此时注意对二次项系数的讨论；(2)几何法，即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．注意分类讨论和数形结合的思想方法．课堂互动讲练考点二直线与圆锥曲线的位置关系课堂互动讲练在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP→＋OQ→与AB→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．例2【思路点拨】(1)联立直线与椭圆方程，整理成关于x的一元二次方程，由于直线与椭圆有两个不同的交点，则Δ＞0.(2)利用两向量共线的条件求解．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得x22＋(kx＋2)2＝1.整理得(12＋k2)x2＋22kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4(12＋k2)＝4k2－2＞0，课堂互动讲练解得k＜－22或k＞22.即k的取值范围为(－∞，－22)∪(22，＋∞)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP→＋OQ→＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22，③课堂互动讲练而A(2，0)，B(0,1)，AB→＝(－2，1)．所以OP→＋OQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝22.课堂互动讲练由(1)知k2＞12，与此相矛盾，所以假设不成立．所以不存在常数k使OP→＋OQ→与AB→共线．【易错分析】(2)中解出k＝22时，误认为k是存在，而不与(1)联系，导致结论错误．课堂互动讲练互动探究若将本例(2)中OP→＋OQ→与AB→共线改为：(OP→＋OQ→)⊥AB→，问k是否存在？解：由例2(2)得知：OP→＋OQ→＝(x1＋x2，y1＋y2)，AB→＝(－2，1)，又x1＋x2＝－42k1＋2k2，课堂互动讲练y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22＝－42k21＋2k2＋22，∵(OP→＋OQ→)⊥AB→，∴(x1＋x2)·(－2)＋y1＋y2＝0，即：－42k1＋2k2·(－2)－42k21＋2k2＋22＝0.课堂互动讲练解得：k＝－24，由例2(1)知k2＞12，与此相矛盾，所以也不存在常数k使OP→＋OQ→与AB→垂直．解答弦长问题要注意避免出现两种错误：(1)对直线l斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式，出现漏解或思维不全造成步骤缺失．(2)对二次项系数不为零或Δ≥0这个前提忽略而直接使用根与系数的关系．课堂互动讲练考点三圆锥曲线中的弦长课堂互动讲练例3(2008年高考北京卷)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．课堂互动讲练【思路点拨】(1)首先由条件求出直线AB的方程，然后联立直线与椭圆的方程，整理成关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出弦长|AB|，进而求出△ABC的面积；(2)首先用待定系数法设出直线AB的方程，然后建立斜边长|AC|是某一变量的函数关系式，最后求出函数取最大值时的变量值，进而求出直线AB的方程，在解题时，注意运用函数的思想方法．【解】(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．课堂互动讲练由x2＋3y2＝4，y＝x，得x＝±1，所以|AB|＝2|x1－x2|＝22.又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h＝2，S△ABC＝12|AB|·h＝2.因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋64＞0.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．课堂互动讲练(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m.由x2＋3y2＝4，y＝x＋m，得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.课堂互动讲练则x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－44，所以|AB|＝2|x1－x2|＝32－6m22.又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝|2－m|2.所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11.所以当m＝－1时，AC边最长．(这时Δ＝－12＋64＞0)此时AB所在直线的方程为y＝x－1.课堂互动讲练圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题，解决此类问题，一般有两个思路：(1)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；(2)构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．课堂互动讲练考点四圆锥曲线中的最值与范围课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)(2009年高考福建卷)已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D.椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝103分别交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值．【思路点拨】(2)中求MN的长度的最小值，应表示出MN的长度，找出M、N两点的坐标．课堂互动讲练【解】(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(－2,0)，上顶点为D(0,1)，∴a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.2分课堂互动讲练(2)法一：直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M(103，16k3)．由y＝k(x＋2)，x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.4分课堂互动讲练设S(x1，y1)，则(－2)·x1＝16k2－41＋4k2，得x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2，即S(2－8k21＋4k2，4k1＋4k2).5分又B(2,0)，故直线BS的方程为y＝－14k(x－2)．课堂互动讲练由y＝－14k(x－2)，x＝103得x＝103，y＝－13k，∴N(103，－13k)，7分故|MN|＝|16k3＋13k|.8分课堂互动讲练又k＞0，∴|MN|＝16k3＋13k≥216k3·13k＝83，10