角的概念推广(教案)

课题：5.1角的概念推广一、教学设计思想本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。二、学生情况与教材分析1、学生通过初中三年的学习，已经了解了角的定义，基本上掌握了角的一些基本性质，会运用关于角的性质进行解题，因此只要简单地回顾角的一些基本知识就可引入新课；2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于中职类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，基础比较差。因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。三、教学目标：⒈知识目标：①引导学生用运动变化的观点了解角的概念的推广。②理解“旋转”定义角的概念，掌握“正角”、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的概念。③掌握“终边相同的角”、“象限角”的表示方法。⒉能力目标：培养学生利用运动变化的观点去发现问题、分析问题的能力，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。⒊德育目标：通过师生互动、生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度,通过实际问题，培养学生理论联系实际的唯物主义观点。四、教学重点与难点：重点：“正角”、“负角”、“零角”、“任意角”、“象限角”、“终边相同的角”的概念，难点：把“终边相同的角”用集合和符号语言正确的表示出来。通过具体问题，让学生从不同的角度作答，理解终边相同角的概念，利用从特殊到一般的方法，归纳出终边相同角的表示方法，达到突破难点的目的。五、教学方法：新授课六、教具：三角板、尺子七、课时安排：1课时八、教学内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.九、教学过程：（一）、复习引入：1．复习：初中是如何定义角的？在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的一个端点旋转而成的图形，旋转起始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。2、角的表示方法：3、角的分类：4．生活中很多实例的角不在范围]360,0[00如：（1）体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º（2）经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）（二）、讲解新课：1．角的概念的推广⑴角的定义：“旋转”形成角ABαO一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵角的分类：“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或可以简记成奎屯王新敞新疆说明：零角的始边和终边重合。⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了奎屯王新敞新疆1角有正负之分如：=210=150=6602角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）3还有零角一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．2．象限角为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角(1)象限角:角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(2)非象限角（也称象限间角、轴线角）：角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1180是第Ⅲ象限角，2000是第Ⅱ象限角等奎屯王新敞新疆3．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Zkk个周角的和：390=30+360)1(k330=30360)1(k30=30+0×360)0(k1470=30+4×360)4(k1770=305×360)5(k⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：ZkkS,360|即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和奎屯王新敞新疆⑷注意以下四点：(1)Zk(2)是任意角；(3)0360k与之间是“+”号，如0360k-30°，应看成0360k+(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．（三）、讲解范例：例1在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角（1）1000º（2）-120º（3）410º解：（1）∵1000º=2×360º+280º∴1000º的角与280º的角终边相同，又280º它是第四象限角∴1000º是第四象限角（2）∵-120º=-360º+240º，∴-120º的角与240º的角终边相同，又240º它是第三象限角∴-120º是第三象限角（3）∵410º30’=360º+50º30’，∴410º30’的角与50º30的角终边相同，又50º30是第一象限角∴410º30是第一象限角例2写出与下列各角终边相同的角的集合S：（1）60°（2）-21°（3）363º14解：(1)ZkkS，36060|(2)ZkkS，36021|．(3)ZkkS，36014363|（四）、课堂练习：1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)总结有关角的集合表示．锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．2.下列命题中正确的是()A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同3.与120°角终边相同的角是()A.－600°＋k·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈ＺD.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ4.若角α与β终边相同，则一定有()A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z5.与1840°终边相同的最小正角为，与－1840°终边相同的最小正角是.6.钟表经过4小时，时针与分针各转了(填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360°(2)720°(3)1080°(4)1440°8.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.(1)560°24′（2）－560°24′（3）2903°15′(4)－2903°15′（5）3900°（6）－3900°（五）、小结本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.（六）、课后作业：课本140页第1、2题十、板书设计第五章三角函数一、任意角的三角函数§5.1.1角的概念的推广（一）1.规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，没有做任何旋转的角叫做零角。2．象限角的概念：角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角3.非象限角（也称象限间角、轴线角）的概念：角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限4.结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：ZkkS,360|5.例1在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角（1）1000º（2）-120º（3）410º解：（1）∵1000º=2×360º+280º∴1000º的角与280º的角终边相同，又280º它是第四象限角∴1000º是第四象限角（2）∵-120º=-360º+240º，∴-120º的角与240º的角终边相同，又240º它是第三象限角∴-120º是第三象限角（3）∵410º30’=360º+50º30’，∴410º30’的角与50º30的角终边相同，又50º30是第一象限角∴410º30是第一象限角例2写出与下列各角终边相同的角的集合S：（1）60°（2）-21°（3）363º14解：(1)ZkkS，36060|(2)ZkkS，36021|．(3)ZkkS，36014363|．6、小结