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第1页，共8页2019、12、31高三文数立体几何（2）空间中的平行与垂直题型一：空间三维平行的证明例1：如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面ABCD，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐴𝐶=3，𝑃𝐴=𝐵𝐶=4，M为线段AD上一点，𝐴𝑀=2𝑀𝐷，N为PC的中点．证明：𝑀𝑁//平面PAB；例2：已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，O是底面ABCD的对角线的交点．求证：平面𝑂𝐶1𝐷//平面𝐴𝐵1𝐷1．例3：在底面是菱形的四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=60°，𝑃𝐴=𝐴𝐶=𝑎，𝑃𝐵=𝑃𝐷=√2𝑎，点E在PD上，且PE：𝐸𝐷=2：1，面𝑃𝐴𝐵∩面𝑃𝐶𝐷=𝑙．证明：𝑙//𝐶𝐷；练习1:如图，在四棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷中，已如𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，△𝑆𝐴𝐷是正三角形，𝐴𝐷=𝐴𝐵=2𝐷𝐶=2，𝑆𝐶=√5，E为AD的中点．若F为SB的中点，求证：𝐶𝐹//平面𝑆𝐴𝐷;题型二：空间三维垂直的证明例1：如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将△𝑃𝐴𝐷，△𝑃𝐵𝐶沿PA，PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2.在三棱锥𝑃−𝑂𝐴𝐵中，E为PB中点．求证：𝑃𝑂⊥𝐴𝐵；例2：如图，在三棱台𝐴𝐵𝐶−𝐷𝐸𝐹中，平面𝐵𝐶𝐹𝐸⊥平面ABC，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐵𝐸=𝐸𝐹=𝐹𝐶=1，𝐵𝐶=2，𝐴𝐶=3．:求证：𝐵𝐹⊥平面ACFD；第2页，共8页例3：如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是梯形，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝑃𝐷⊥平面ABCD，𝐵𝐷⊥𝐷𝐶，𝑃𝐷=𝐵𝐷=𝐷𝐶=12𝐴𝐵，E为PC中点．证明：平面𝐵𝐷𝐸⊥平面PBC；题型三：空间三维平行与垂直的综合应用例1:如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD为矩形，𝑃𝐷⊥底面ABCD，𝐴𝐷=𝑃𝐷=2，E、F分别为CD、PB的中点．(1)求证：𝐸𝐹//平面PAD；(2)求证：平面𝐴𝐸𝐹⊥平面PAB；练习1：如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，∠𝑃𝐶𝐵=90°，点E是PC的中点，且平面𝑃𝐵𝐶⊥平面ABCD．(Ⅰ)证明：𝐴𝑃//平面BED；(Ⅱ)证明：平面𝐴𝑃𝐶⊥平面BED；练习2：如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面是矩形，𝑃𝐴⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且𝑃𝐴=𝐴𝐷．(1)求证：𝐴𝐹//平面PEC；(2)求证：平面𝑃𝐸𝐶⊥平面PCD．练习3：在如图所示的几何体中，D是AC的中点，𝐸𝐹//𝐷𝐵．(Ⅰ)已知𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐸=𝐸𝐶，求证：𝐴𝐶⊥𝐹𝐵；(Ⅱ)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：𝐺𝐻//平面ABC．第3页，共8页练习4：如图，直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴1𝐶1=𝐵1𝐶1，𝐴𝐶1⊥𝐴1𝐵，M，N分别是𝐴1𝐵1、AB的中点．求证：(Ⅰ)𝐶1𝑀⊥平面𝐴1𝐴𝐵𝐵1；(Ⅱ)𝐴1𝐵⊥𝐴𝑀；(Ⅲ)平面𝐴𝑀𝐶1//平面𝑁𝐵1C.题型四：空间三维平行与垂直的存在性问题例1：在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，𝑃𝐴⊥平面ABCD，𝑃𝐴//𝐵𝐸，𝐴𝐵=𝑃𝐴=4，𝐵𝐸=2．(Ⅰ)求证：𝐶𝐸//平面PAD；(Ⅲ)在棱AB上是否存在一点F，使得平面𝐷𝐸𝐹⊥平面PCE？如果存在，求𝐴𝐹𝐴𝐵的值；如果不存在，说明理由．例2：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，𝑀𝐷⊥平面ABCD，𝑁𝐵⊥平面ABCD，且𝑀𝐷=𝑁𝐵=1，E为BC的中点，在线段AN上是否存在点S，使得𝐸𝑆⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．练习1：如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是边长为2的正方形，𝑃𝐴=𝑃𝐵，𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，F为CP上的点，且𝐵𝐹⊥平面PAC．(Ⅰ)求证：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面ABCD；(Ⅲ)在棱PD上是否存在一点G，使𝐺𝐹//平面PAB，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由．第4页，共8页练习2：如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，ABCD是正方形，𝑃𝐷⊥平面ABCD，𝑃𝐷=𝐴𝐵=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．(1)求证：平面𝑃𝐴𝐵//平面EFG；(2)证明：平面𝐸𝐹𝐺⊥平面PAD；(3)在线段PB上确定一点Q，使𝑃𝐶⊥平面ADQ，并给出证明．练习3：如图，在底面为菱形的四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=60°，𝑃𝐴=𝐴𝐶=1，𝑃𝐵=𝑃𝐷=√2，点E在PD上，且PE：𝐸𝐷=2：1．(Ⅰ)求证：𝑃𝐴⊥平面ABCD；(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F，使得𝐵𝐹//平面EAC？若存在，试求出PF的值：若不存在，请说明理由．第5页，共8页2019、12、31高三文数立体几何（3）空间中的角与距离题型一：空间角1.线线角例1：如图，三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐴⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知𝑃𝐴=𝐵𝐶=2，𝐴𝐵=4，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A.−√3010B.√305C.−√305D.√3010练习1：在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝐴𝐵1=2，𝐴𝐵1⊥平面ABC，𝐴𝐶1⊥𝐴𝐶，则直线𝐵𝐴1与直线𝐴𝐶1所成角的余弦值为（）A.√22B.√32C.12D.√33练习2：如图，𝐴1𝐵1𝐶1−𝐴𝐵𝐶是直三棱柱，∠𝐵𝐶𝐴=90°，点𝐷1、𝐹1分别是𝐴1𝐵1、𝐴1𝐶1的中点，若𝐵𝐶=𝐶𝐴=𝐶𝐶1，则𝐵𝐷1与𝐴𝐹1所成角的余弦值是()A.√3010B.12C.√32D.√1510练习3：如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，𝐵𝐷=√2，𝑃𝐶=√7，𝑃𝐴=√5，∠𝐶𝐷𝑃=90°，E、F分别是棱AD、PC的中点．(1)证明：𝐸𝐹//平面PAB；(2)求BD与PA所成角的大小．例2：如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△𝐴𝐵𝐶沿DE，EF，DF折成四面体𝑃−𝐷𝐸𝐹，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．例3：如图所示，三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐴⊥平面ABC，∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝑃𝐴=𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥𝐴−𝐸𝐵𝐶的体积．2.线面角例1：如图，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，𝐴𝐴1=2，点P为𝐷𝐷1的中点．(1)求证：直线𝐵𝐷1//平面PAC；(2)求证：平面𝑃𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐷1；(3)求直线𝑃𝐵1与平面PAC的夹角．练习1：如图，在三棱锥𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧面𝐴𝐶𝐶1𝐴1⊥底面ABC，△𝐴1𝐴𝐶为等边三角形，𝐴𝐶⊥𝐴1B.(1)求证：𝐴𝐵=𝐵𝐶；(2)若∠𝐴𝐵𝐶=90°，求𝐴1𝐵与平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1所成角的正弦值．第6页，共8页练习2：如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，底面△𝐴𝐵𝐶是边长为2的等边三角形，D为AB的中点．(Ⅰ)求证：𝐵𝐶1//平面𝐴1𝐶𝐷(Ⅱ)若𝐴1𝐷=√5，求直线𝐴1𝐷与平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1所成角的正弦值．例2：如图所示，直角梯形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2𝐴𝐷=2，四边形EDCF为矩形，𝐶𝐹=√3，平面𝐸𝐷𝐶𝐹⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：𝐷𝐹//平面ABE；在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为√34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．练习3：如图，在三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=2√3,𝐵𝐷=𝐶𝐷=2，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=2√2．(Ⅰ)求证：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；(Ⅲ)在棱AC上是否存在一点E，使DE与平面BCD成30∘角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．题型二：空间距离例1：已知三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，𝐴𝐵=2，𝑆𝐴=𝑆𝐵=𝑆𝐶=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是()A.√33B.1C.√3D.3√32练习1：已知球O的半径为2，四点S、A、B、C均在球O的表面上，且𝑆𝐶=4，𝐴𝐵=√3，∠𝑆𝐶𝐴=∠𝑆𝐶𝐵=𝜋6，则点B到平面SAC的距离为()A.√32B.32C.√33D.1例2：已知等腰梯形ABCE中，𝐴𝐵//𝐸𝐶，𝐴𝐵=𝐵𝐶=12𝐸𝐶=4，∠𝐴𝐵𝐶=120∘，D是EC中点，将△𝐴𝐷𝐸沿AD折起，构成四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀,𝑁分别是𝐵𝐶,𝑃𝐶的中点．(1)求证：𝐴𝐷⊥平面DMN；(2)当平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD时，求点C到平面PAB的距离．第7页，共8页练习2:如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，侧面𝑃𝐴𝐵⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，𝑃𝐴=𝑃𝐵，E为PC上的点，且𝐵𝐸⊥平面PAC．(Ⅰ)求证：𝑃𝐴⊥平面PBC(Ⅲ)求点D到平面PAC的距离．练习3：已知正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶的各条棱长都为a，P为𝐴1𝐵的中点，M为AB的中点(1)求证：𝐴𝐵⊥平面PMC；(2)求点B到平面PAC的距离．例3：如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面ABCD，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐴𝐶=3，𝑃𝐴=𝐵𝐶=4，M为线段AD上一点，𝐴𝑀=2𝑀𝐷，N为PC的中点．(Ⅰ)证明𝑀𝑁//平面PAB；(Ⅱ)求四面体𝑁−𝐵𝐶𝑀的体积．练习4：如图，在四棱锥𝑃-ABCD中，，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，已知AD=2，BD=2√3，AB=2CD=4．(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥𝑃-ABCD的体积．练习5：如图，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧面𝐵𝐵1𝐶1𝐶为菱形，𝐵1𝐶的中点为O，且𝐴𝑂⊥平面𝐵𝐵1𝐶1C.(1)证明：𝐵1𝐶⊥𝐴𝐵；(2)若𝐴𝐶⊥𝐴𝐵1，∠𝐶𝐵𝐵1=60°，𝐵𝐶=1，求三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的高．练习6：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，𝐴𝐸=𝐶𝐹，EF交BD于点H，将△𝐷𝐸𝐹沿EF折到△𝐷′𝐸𝐹的位置．(Ⅰ)证明：𝐴𝐶⊥𝐻𝐷′；(Ⅱ)若𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=6，𝐴𝐸=54，𝑂𝐷′=2√2，求五棱锥𝐷′−𝐴𝐵𝐶𝐹𝐸体积．第8页，共8页例4：在正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1=2𝐴𝐵=2，E为𝐶𝐶1的中点(1)求证：𝐴1𝐸⊥平面BDE；(2)若F为𝐵𝐵1上的动点，使直线𝐴1𝐹与平面BDE所成角的正弦值是√63，求F点的位置；(3)求点𝐶1到平面BDE的距离练习7：如图，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧面𝐵𝐵1𝐶1𝐶是菱形，其对角线的交点为O，且𝐴𝐵=