递推公式求数列通项的八大常见形式

新课标高考由递推公式求数列通项的八大常见形式对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列称辅助数列法。1．递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例1.已知数列中，，求。2.型递推式可构造为形如的等比数列。例5.在数列中，，求通项公式。解：原递推式可化为，比较系数可得：，，上式即为是一个等比数列，首项，公比为。所以。即，故为所求。3.（A、B、C为常数，下同）型递推式（1）可构造为形如的等比数列。类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）。（2）可构造为形如引入辅助数列（其中），得：再应用类型1的方法解决。例1.已知数列中，，求。例2.已知数列中，，求。4．=p+q(p、q均为常数)（二阶递归）=p+q-＝（-）∴解出、因此｛-｝是G.P特殊地型分析：∵∴∴是以为首项，公比为的等比数列例1、，，，求例2：a1=1，a2==-,求数列｛｝的通项公式。-＝（-）解得：＝1、＝-＝（-），a2-a1=∴-=∴＝（-）+（-）+┈+（a2-a1）+a1=++┈++1=3-.∴＝3-5.等差数列：由此推广成差型递推关系：累加：=，于是只要可以求和就行。递推公式为解法：把原递推公式转化为，（特殊情形：⑴.（差后等差数列）⑵（差后等比数列））利用累加法求解。例1．已知｛｝满足，且，求例2．已知｛｝满足，且，求例3．已知｛｝满足，且，求例4.已知数列满足，求。6．等比数列：递推公式为累乘：类型2递推公式为解法（1）把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例1．已知｛｝满足，且，求例2．已知｛｝满足，且，求例3．.已知数列满足，求。7．倒数变换法：形如（为常数，且）的递推公式，可令。则可转化为型；例1：数列中，且，，求数列的通项公式.8．对数变换法：1．递推式两边同取对数，得令，则，已转化为“型”，由累乘相消法可得例、已知数列满足，求。