2019年12(1)常数项级数的概念和性质.ppt

1Theclasshasalreadybegun!铛！铛！铛！……2第十二章无穷级数R3级数论研究什么问题？1+2+3+4=10一般的，naaa...21的结果是一个数，但是当n趋近于无穷大时，即......21naaa其结果是不是仍然是一个数呢？例如：1）...21...4121n的结果为1。2）...2...222n不是一个数。★4问题1:......21naaa什么时候表示数？什么时候不表示数？进一步，当表示一个数时，是不是仍然象有限个数的加法一样满足结合律，交换律？5上的函数也是上的函数，则是],[)()(],[)(),(baxgxfbaxgxf★一般的，有限个函数的和仍然是函数，但是无限个函数的和呢？例如：......12nxxx当)1,1(x时表示一个函数，但是当)1,1(x不是一个函数。6问题2:无限个函数的和的结果什么时候是函数？什么时候不是函数？问题3:有限个连续函数的和仍然是连续函数，那么如果无限个连续函数的和仍然是函数，是不是仍然连续？7本章的级数理论，主要是考虑如上的一些在有限和的情况下成立的结论，在无限和的情况下是否仍然成立，即无穷级数的收敛性问题。在自然科学和工程技术中,也常用无穷级数来分析问题。在积分运算和微分方程求解时,也经常使用到无穷级数。8常数项级数的概念收敛级数的基本性质第一节常数项级数的概念和性质9人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个由近似到精确的过程，在这种过程中，会遇到由有限到无穷多个数量相加的问题。例计算圆面积方法：以圆内接正多边形的面积近似表示圆面积。一、常数项级数的概念10内接正六边形面积为1a内接正十二边形面积为21aa2(a为6个等腰三角形面积)内接正二十四边形面积为321aaa内接正n23边形面积为12naaa圆面积niinaA1limniia1无穷多个数量依次相加。......21naaaA111.级数的定义nnnuuuuu3211(常数项)无穷级数一般项如;1031003103n;1)1(41312111nn.)1(11111n问题:这种表达式是什么意思?(1)给定一个数列nuuuu,,,,32112这样,级数对应一个部分和数列{sn}:nnuuus21称无穷级数的,11us,212uus,3213uuus,21nnuuus2.级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数的,也算不完,永远那么级数的结果是什么呢?前n项和部分和.niiu1nnnuuuuu3211含义是什么?给定级数就可以决定{sn}，反之一样.明显：级数是不是表示一个数，等价于部分和数列{sn}是不是存在极限！13定义,无限增大时当n,ssn有极限数列,1收敛nnu.1的和叫做级数这时极限nnusnuuus21,没有极限如果ns.1发散则称无穷级数nnu的部分和如果级数1nnu.limssnn即则称无穷级数并写成即常数项级数收敛(发散).nnslim(不存在)存在14这种等价关系将级数的敛散性，转化为数列极限是否存在的问题。它是最基本的级数敛散性的判断方法。级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的.nnnuuuuu3211(1)15nnssr21nnuu1iinu0limnnr对收敛级数(1),为级数(1)的余项或余和.显然有当n充分大时,nnnuuuuu3211(1)称差ssn误差为||nr16例2)1(321nnnsn而nnslim所以,n321的部分和级数2)1(limnnn级数发散.17解时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1qaqqan11例讨论等比级数(几何级数)的收敛性.)0(20aaqaqaqaaqnnn18,1时当q0limnnqqasnn1lim,1时当qnnqlimnnslim级数收敛级数发散时如果1q,1时当q,1时当qnasn级数发散aaaa级数发散综上发散时当收敛时当,1,10qqaqnn级数变为qaqqasnn11以后会经常用到，必须记住！19讨论级数的敛散性.)0(ln31aann解例因为1ln3nna为公比的等比级数,是以aln故,1时当eae,1|ln|a级数收敛.发散.ea10当,1|ln|a发散时当收敛时当,1,10qqaqnn,时或ea20解)12)(12(1nnun)121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn例判定级数的收敛性.)12()12(1531311nn21)1211(21limlimnsnnn)1211(21nsn21,级数收敛即.21和为21)12()12(1531311nns22判定级数的收敛性.)1(1321211nn练习级数收敛,且其和为1.23的部分和分别为ns.n及则nnks于是,ssn当nnks证性质1若1nnu收敛于s,11nnnnkuu与令nkukuku21;ks二、收敛级数的基本性质1nnku则收敛于ks.)(21nuuuk得证.24,0时不存在极限且当ksn也不存在极限.n性质1若1nnu收敛于s,1nnku则收敛于ks.由知，nnks结论1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.即时，数列的敛散性相同.0k}{},{nns所以时，级数的敛散性相同.0k11,nnnnkuu结论2:收敛级数对非零乘数的分配律成立.25性质2,11nnnnvu与设有两个级数,1sunn若,1nnv.)(1svunnn则证niiivu1)(所以niiinvu1)(limniinniinvu11limlim级数的部分和niiv1niiu1结论:收敛级数逐项相加减后保持收敛性.s得证.26例11131,21nnnn1121nn都收敛.131nn2111发散时当收敛时当,1,10qqaqnn113121nnn3111312527性质2,11nnnnvu与设有两个级数,1sunn若,1nnv.)(1svunnn则1nnu若1nnv)(1nnnvu则敛散性如何？收敛,发散,问题1必发散.28性质2,11nnnnvu与设有两个级数,1sunn若,1nnv.)(1svunnn则,1nnu若1nnv均发散,)(1nnnvu则敛散性如何？问题2可能发散也可能收敛.29,)1()1()1(都发散.,111)]1(1[收敛.例000)]1(1[0能否举出发散级数的和仍然发散的例子？,111,321都发散.,432发散.30性质3添加、去掉或者改变有限项不影响一个级数的敛散性.n2121212例n212121100...21276212121n2121212100132收敛收敛收敛收敛问题收敛的情况下，是否收敛于同样的和？31性质41nnu设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛，且收敛于原级数的和.65432212121212121例1)212121()2121(216543264783211证明作为课下练习.32性质41nnu设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛，且收敛于原级数的和.①一个级数加括号后所得新级数发散,则注原级数事实上,加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛,则根据性质4,)11()11(例如1111收敛发散②一个级数加括号后收敛,原级数发散.敛散性不确定.33(级数收敛的必要条件)0limnnu性质5收敛级数的一般项趋于零，即的部分和为,ns且nnulim,limssnn证1nnu令则1limlimnnnnss.0)(lim1nnnss34注①级数收敛的必要条件,0limnnu有n131211常用判别级数发散;如调和级数②逆命题不成立.但级数是否收敛性质5收敛级数的一般项趋于零。一般项趋于零时，级数可能收敛也可能发散n2121212.0lim且级数收敛nnu35是否收敛?讨论n131211调和级数假设级数收敛于s，部分和为sn,明显：ssnnlim所以由于一定发散ssnn2lim0)(lim2ssssnnnnnnssnn21...21112nnn21...2121.21不可能以零为极限.nnss2矛盾！常用！36例判别下列级数的敛散性)1(13)32)(12)(12(52nnnnnn)2(1)1(3nnnnn133ln31nnnn)3(37)1(13)32)(12)(12(52nnnnnn解由于nnulim81发散0)32)(12)(12(52lim3nnnnnn)2(1)1(3nnnnn解由于nnulimnnn111lim30发散e338133ln31nnnn)3(解11nn131nn而级数33lnr33ln||r所以这个等比级数133ln31nnnn发散.由性质2知,由性质1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,133lnnnn是以1收敛.39判断题,0limnnu若.1必收敛则nnu,1发散若nnu.0limnnu则必有,0limnnu若.1发散则必有nnu错错正确)1()2()3(练习40(4)收敛级数改变前100项得到的新级数可能收敛也可能发散。(5)添加或者去掉级数的项不会影响级数的敛散性。(6)级数加括号后收敛，则原级数必收敛。(7)级数加括号后发散，则原级数必发散。(8)收敛级数加括号必收敛。错正确错正确错41本节课学习了哪些方法可以判断级数的敛散性？3.按基本性质.等价于级数收敛.由定义,ssn1.,0limnnu当则级数发散.2.总结4.利用特殊级数：等比级数和调和级数.42作业习题11-13（2，3），4（1，2，5）