《金融数学》(第二版)公式汇总

孟生旺《金融数学孟生旺《金融数学孟生旺《金融数学孟生旺《金融数学》》》》（第二版）（第二版）（第二版）（第二版）公式汇总公式汇总公式汇总公式汇总∎复利的累积函数：0()()d()(1)1(1)1eetsmtmtmmtttsidatidmmδδ−−=+=+=−=−=∫⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∎单利的累积函数：()1atit=+∎各种利息度量工具之间的关系：（1）)1(iid+=vi⋅=()11nndn⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦（2）)1(ddi−==()11mmim+−⎡⎤⎢⎥⎣⎦e1δ=−（3）dv−=1（4）idid−=（5）()1(1)1mmimi⎡⎤=+−⎣⎦（6）()111(1)(1)nnndndnv⎡⎤=−−=−⎣⎦（7）()()11mnmnidmn−+=−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（8）)1ln(i+=δ∎期末付复递增年金的现值：11njPVar=+末∎期初付复递增年金的现值：njPVa=̇̇初，其中r表示年金增长率，1irjr−=+。∎若ir=，则有：1nPVr=+末，PVn=初。∎币值加权收益率的近似公式：)1(0tCAIitt−+≈∑∎时间加权收益率的一般公式：1/121(1)(1)(1)1Tnijjj+éù=+++-ëû⋯；如果投资期为1年，即T＝1，则该年的时间加权收益率可以表示为121(1)(1)(1)1nijjj+=+++-⋯，其中kj是第k个时间区间的时间加权收益率。∎在等额分期偿还方法中，借款人每次偿还的总金额为R，其中支付的利息为Ik，偿还的本金为Pk，未偿还本金余额为Lk。它们的计算公式为：（1）inaLR|0=（2）Ik=R(1–vn–k+1)=ikniRa|1+−（3）Pk=Rvn–k+1=inaL|01+−knv（4）Lk=L0(1+i)k–Riks|（过去法）=Rikna|−（将来法）∎在等额偿债基金方法中，借款人每期支付的利息金额为I=iL0，向偿债基金的储蓄额为D=jnsL|0，总的付款金额为I+D，偿债基金在第k期末的余额为jksD|⋅，贷款净额为L0–jksD|⋅。当偿债基金的利率与贷款利率相等时，等额偿债基金方法与等额分期偿还方法等价，即有下述关系式：（1）I+D=R（2）D=R–iL0（3）L0–jksD|⋅（贷款净额）=Rikna|−（未偿还本金余额）∎债券在息票支付日期的价格和账面值可按下述四种方法求得：（1）基本公式：P=rFna+Cvn（2）溢价公式：P=C+(rF–iC)na=C[1+(g–i)na]（3）基价公式：P=G+(C–G)vn（4）Makeham公式：()gPCKKi=−+∎债券在相邻两个息票支付日期之间的价格：0=(1)ttPiP+∎债券在相邻两个息票支付日期之间的账面值可按下述三种方法计算：（1）理论方法：tP~=(1+i)tP0–]1)1[(−+tiirF（2）半理论方法：tP~=(1+i)tP0–trF（3）实践方法：tP~=(1+ti)P0–trF∎优先股的价格：iDP=∎普通股的价格：∑∞==1tttDvP∎如果股息的增长率是一个常数r，则普通股的价格：1DPir=−∎股票远期合约的价格如下：无股利：()erTtFS-=离散股利：()()erTtFSD−=−连续股利：()()erTtFSδ−−=∎互换利率：*11eeiiiinrtiinrtikk−=−==∑∑∎看涨期权与看跌期权之间存在如下的平价关系：()erTtCKPS−−+=+∎马考勒久期：()00e1/()()mtttttttRtRymPMacDPPPδδδ−−+′=−==∑∑∎修正久期：()()1/PyMacDModDPyym′=−=+∎有效久期：()02PPEffDPy−+−=∆∎凸度：20()11()1()()mtttPyyCttRPyPymm−−⎡⎤′′⎛⎞==++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑∎马考勒凸度：22001()mttttttytRtRePmMacCPPPδδ−−⎛⎞+⎜⎟′′⎝⎠===∑∑∎有效凸度：()()0202PPPEffCyP+−+−=∆∎债券组合的久期：1nkkkPDDP==∑̃∎债券组合的凸度：1nkkkPCCP==∑̃∎债券价格与收益率的近似关系：2%()0.5()PPyyP久期凸度∆∆=≈−⋅∆+⋅⋅∆∎实施免疫策略的三个条件是：（1）资产的现值等于负债的现值。（2）资产的久期等于负债的久期。（3）资产的凸度大于负债的凸度。∎实施完全免疫策略的三个条件是：（1）资产的现值等于负债的现值。（2）资产的久期等于负债的久期。（3）资产到期时间处于负债到期时间之前和之后。∎若令资产的价格为P，t时刻的现金流为tC，实际的年到期收益率为y，即期利率为rt，远期利率为ft，则有：000011(1)(1)(1)(1)...(1)ttttttttttCCCPyrfff−===+++++∑∑∑011(1)(1)...(1)1tttrfff−=+++−111(1)1(1)tttttrfr−−−+=−+