动态经济学的微分方程和差分方程案例

市场需求函数由下式给出：Dtq=A+Btp其中，Dtq为t时刻的需求量，tp是t时刻的市场主导价格我们假定供给决策是在产品上市的前一期做出的。因此，t时期市场的共给量是在t－1时期以供应商预期的未来市场价格为基础决定的。令1()ttEp表示预期价格，那么时期t的供应量由下式给出：Stq=F+G1()ttEp为了使模型更加的完整，我们需要指定预期价格的形成方式。在基本的蛛网模型中，我们假定1()ttEp=1tp这意味着，供应商预期下一期的市场价格等于当前的市场价格。假定在每一期价格都会调整到市场出清水平，那么每一期的供给和需求都相等。这意味着A+Btp=F+G1()ttEp重新整理，可以求得tp：tp=1tGFApBB（18.8）该式说明，价格的时间路径服从一个一阶线性自治差分方程（以t和t-1，而不是t和t+1的项表示）。稳态价格p可以通过令tp=1tp=p求得。按照上述做法，我们求得p=AFGB注意，稳态价格也是使供给和需求相等时的价格。比较等式（18.8）和等式（18.1），我们知道,GFAabBB应用等式18.1可得011tttGGFABppGBBB将上述结果重新整理，并且利用p的表达式，我们有0ttGppppB（18.9）价格收敛到p，当且仅当1＜GB＜1,因为只有这时，等式（18.9）中的第一项才会随着t趋于无穷收敛到零。不幸的是，并没有什么特别的原因能够使比率GB满足这一条件，因为它只是供给曲线和需求曲线的斜率比。因此，价格是否收敛依赖于相对斜率。通常B＜0（需求曲线斜率为负），G＞0（共给曲线斜率为正），因此BG为负。这意味着模型中的价格将会不断震荡，因为tGB会随着t取奇数和偶数而在正负之间交替更迭。如果GB＜1,那么价格将会沿着振荡路径收敛到它的稳态水平。如果GB＞1，那么价格也会遵循振荡路径，不过振荡的幅度会随着时间而不断增大。在这种情况下，价格不会收敛到它的稳态水平。在图18.3中，我们描述了价格收敛到稳态均衡价格的稳定市场情形。市场起初位于非均衡价格0p处（由于需求移动等未知的原因）。在时期0，供应商计划时期1生产数量1q。当这一数量的产品在时期1上市时，价格上升到1p，市场出清。在时期1，供应商计划时期2生产数量2q。当这一数量的产品在时期2上市时，价格下降到2p，市场出清。在这一价格下，供应商计划时期3生产数量3q。在时期3，价格上升到3p，市场出清。注意，价格从0p上升到1p，然后又下跌到2p，接着又升至3p。价格的波动过程将会一直持续下去，直到价格收敛到供给和需求曲线相交的稳态均衡值。由于价格的这一调整过程的图形看上去像蜘蛛网，所以我们称之为蛛网模型。蛛网膜型的波动可能是它最令人感兴趣的特征，而它最让人烦恼的地方就是它的高度不稳定。由于比率GB的绝对值大于1和小于1的可能性相同，所以它的发散和收敛也是SD3p1p1q0p2pq2q3q图25.7可耗竭资源问题在（R,c）空间中的相图图25图18.3基本蛛网模型中的价格调整等可能的。蛛网膜型的这一不合意的特征是供应商做出极其幼稚的价格预期假定的直接结果。尽管由于价格波动，价格预期从未实现过，但是模型仍然假定，供应商将持续认定当期的价格就是下一期的价格。在下面的例子中，预期价格的形成方式更为复杂一些。但我们将看到，这一变化使得模型更加稳定。例18.6在价格决定的蛛网模型中，将预期价格形成的方式修正为如下形式：111ttttEpppp，01我们假定，供应商能准确的预测稳态均衡价格p。因此，在时期t-1，下一期的价格就等于当期价格1tp，加上稳态价格和当期价格之间差额的一定比例。如果当期价格低于稳态价格，那么预期价格将会上升；如果当期价格高于稳态价格，那么预期价格将会下降。如果=0，该模型就还原为前面讨论过的蛛网模型。如果=1，供应商就会预期价格在一期之内调整到均衡水平。求该价格差分方程的解，并且分析解的收敛性。解：将修正的价格预期方程带入供给函数，然后令供给等于需求，即11ttABpFGpGp解出tp：11ttGFAGpppBB令tp=1tp=p，以求解稳态价格。经过运算之后，我们得到p=AFGB这同前面的稳态均衡价格相同。根据定理18.1，差分方程的解为011111tttGBGFAGpppBBGB化简整理之后，利用FABGp可得01ttGppppB（18.10）跟基本的蛛网模型一样，本模型中的价格在收敛和发散的情况下都是波动的，因为在通常的情况下，需求曲线斜率为负，供给曲线斜率为正，所以1GB为负。不过，同基本蛛网模型相比，修正后的模型更有可能满足收敛条件，因为同GB相比，1GB的绝对值更有可能小于1。例如，即便G的绝对值是B的5倍，只要＞0.8，价格就会收敛到它的均值。经济增长模型模型所描述的经济中的总产出为attyk，0＜a＜1；t=0，1，2，…其中，ty为总产出，tk为总资本存量。这一表达式说明，经济中的产出是生产性资本存量的凹函数。在该经济中，资本的积累是通过储蓄来实现的。我们假定每期的储蓄为产出的一个固定比例s。进一步假设资本折旧率为，于是，我们得到1ttttkkksy该式表明，时期t+1的资本存量等于时期t的资本存量，减去时期t的折旧，再加上时期t的储蓄。将总产出代入上式，我们得到该经济资本存量的一阶非线性微分方程：11atttkkskt=0，1，2，…(19.5)给定我们所假设的该经济中的储蓄行为，我们希望尽可能多的了解该经济中资本存量随时间的变化路径。资本存量会永远增长下去吗？它会收敛到稳态值吗？它会发生振荡吗？为了回答这些问题，我们从相图着手，对该差分方程进行定性分析。为此，我们需要画出方程(19.5)的图形。注意到当tk=0时，1tk=0，因此，图形经过0,0点。然后，我们求一阶导数：111atttdksakdk（19.6）由于我们假定＜1，所以上式大于零。这一结果告诉我们，曲线向上倾斜。下面我们接着求二阶导数：2212(1)atttdksaakdk因为0＜a＜1，所以上式小于零。根据这一结果和前面的一阶导数，我们知道对所有tk＞0，该函数严格凹。对于做出曲线的草图，这些信息基本上够用了。图19.5给出了具体有上述特征的曲线。令1ttkk，我们可以求得稳态的均衡值。经过化简之后，我们得到_10aksk稳态解为_k=0和1ak=s定理19.1要求我们计算方程（19.5）的右边在稳态值处的导数，并据此来判定哪个解是稳定的。该导数为11asak在_k=0处，该倒数趋于无穷。因此，tk并没有局部收敛到零。计算第二个稳态值处的导数可得1sas=1(1)a它大于0，小于1，因为0＜a，＜1因此，点11_aks是局部稳定的。相图分析表明，只要0k＞0，tk就会收敛到_k。因此，至少k取正值时，_k是全局稳定的。最后，我们所作的分析表明，'f在k的整个定义域上是正的。根据定理19.2.我们知道通向稳态的逼近路径是单调的，而不是震荡的。1tktkkko图19.5方程（19.5）的相图，其中k是稳态马尔萨斯增长模型托马斯马尔萨斯认为，人口增长是人均收入的反函数，其极限由生物学因素决定。我们假定1ttttNNbnNt=0，1，2,﹒﹒﹒(19.12)其中，t是人均收入，tN是t时期的人口数量，n和b是正常数。上式表明，每一时期的人口增长率等于n减去常数b和人均收入之比。随着t的提高，更多的食物供给和更优越的生活条件意味着人口增长速度增加（因为更高的出生率和更低的死亡率）。人口增长率的上限为n。相反，如果t下降，那么食物供给减少，生活条件恶化，这意味着人口增长率下降。我们假定t由下式给出：t=ttYN其中，tY为经济中的总产出。具体而言，我们假定总生产函数为ttYN，0＜＜1该式意味着总产出是人口（劳动）的增函数。经过相关替换，我们得到人均收入：1ttN将上式带入方程（19.12），并且移向整理，最后得到该模型人口增长的一阶非线性差分方程：111tttNNnbN（19.13）为了构造相图，我们先画出函数（19.13）的图形。该函数曲线起自原点，然后以递减的速率增加，直到最大值点；然后开始以递减的速率下降，最终与横轴相交。我们可以按照以前的做法进行相图分析。先求一阶导数：111(2)tttdNnbNdN当tN=0时，上式取值为正（等于1+n）；随着tN的增加，开始单调下降并在N处达到零：111(2)nNb随后取值为负。这表明函数在N处达到最大值，这一结论可以通过计算二阶导数来证实：212(2)(1)tttdNbNdN＜0图19.10给出了N在最大值右边取得稳态值时得到相图。因为相图曲线为山形的，该模型中tN的路径可能收敛到稳态点，也可能收敛到一个稳定的极限循环，或者可能是混沌的。为了确定在N附近tN路径的性态，需要计算式（19.14）在该点的导数。为此，我们需要N的一个分析解。令N=1tN=tN，代入方程（19.13），求解可得1nNb将该式代入式（19.14），化简后得到11(1)ttdNndN由于(1)n＞0，所以斜率总小于1。而稳态解还要求斜率不大于-1，这要求(1)n＜2上面的条件能满足吗？我们知道0＜＜1。如果=0.99，那么要满足该条件，n就必须小于200。作为每期人口增长率的上限，n有可能满足这一要求。譬如说，如果一个时期为25年（一代所需的年数），那么增长率为200意味着每隔一代，人口将增加200倍，这似乎有点高的离谱。所以，对于较大的值，我们预计人口将会收敛到稳态。如果很小，譬如说0.01，那么要满足上述稳定性条件，n必须小于2.02。这似乎不太可能。因为每隔一代，人口增加一倍并非难事。因此，对于较小的值，人口不太可能收敛到稳态；相反，它可能表现出周期或者混沌行为。1tNtNNo图19.10马尔萨斯增长模型的相图蛛网膜型在第18章里，我们考察了这样一个价格决定模型：供应商以当期的价格为基础来形成他们的供给决策。我们发现该模型高度不稳定，因为除非供给函数的斜率小于需求函数的斜率的绝对值，否则该模型会导致爆炸式的价格波动。该模型所假定的供应商形成价格预期的方式太简单了。我们考虑另一种形式的价格预期过程，它构成了一个二阶差分方程，这不同于第18章里的一阶差分方程。跟前面一样，假设时期t的供给函数为1()StttQFGEp其中，SQ为供给量，1()ttEp为供应商在第t-1期对第t期的价格预期。我们假定112()ttttEppp其中，212tttppp是时期t-2到时期t-1的价格变化，是我们下面要讨论的参数。该模型中的价格预期过程如下：在t-1期，供应商利用有关当期（那时）价格1tp的信息，以及前一个时期的价格变化2tp来预测下一期的价格。如果01，供应商预期下一期的价格变化11()tttEpp与前一期价格变化2tp的方向相反。根据我们对蛛网模型中所出现的震荡的认识，可以判定这将是一个合理的价格预期。另一方面，如果10，供应商预期下一期价格变化与前一期价格变化方向相同。我们将会分别考察取正值和负值时模型的稳定性。需求函数由下式给出：DttQABp当DtQ=StQ时，供求均衡。将需求函数和供给函数代入方程，可以得到如下等式：12(1)tttABpFGpp化简可得12(1)tttGGFApppBBB，t=2，3，4,…2