尺规作图-角平分线

一、尺规作图1.作一个角等于已知角的方法已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′=∠AOB.作法：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；2.画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；3.以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.2.先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB,B′C′=BC，C′A′=CA.作法：画一个△A′B′C′，使A′B′=AB,A′C′=AC，B′C′=BC：（1）画B′C′=BC；（2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′;(3)连接线段A′B′，A′C′.二、角的平分线导入：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2:新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看.角的平分线的画法OABCDO′A′B′C′D′图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？作已知角的平分线的方法.已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求（如图).理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS”．拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线．注意：“大于MN的长为半径画弧”是因为若以小或等于MN的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交．如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB.角的平分线的性质如图12.3-3，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.12121214通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．要点精析：(1)点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等．2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,∴PD＝PE.例1、如图,∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．1、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是()A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，DE交OC于点F.(1)角的相等关系：①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP＝90°；③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.三、角平分线的判定角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边距离相等.交换上述已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)【例1】如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．证明角平分线的“两种方法”(1)定义法：应用角平分线的定义.(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.1、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A．点MB．点NC．点PD．点Q2、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的平分线D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)三角形的角平分线如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.三角形得角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心.1到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的()A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．以上均不对2如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.3如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.角的平分线的性质与判定定理的关系：(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．(2)点在角的平分线上点到这个角两边的距离相等．(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．性质判定定理