概率论与数理统计(魏宗舒)第五章答案

1计算题、证明题1．设(x1,2x，…，nx)及（1u，2u，…，nu）为两组子样观测值，它们有如下关系iu＝baxi（ab,0都为常数）求子样平均值u与x，子样方差2us与2xs之间的关系．解:baxaxnbbaxnuinnuiii1121121.11122222xiiusbbaxbaxnuunS2．若子样观测值1x,2x,…,mx的频数分别为1n,2n,…，mn，试写出计算子样平均值x和子样方差2ns的公式(这里n=1n+2n+…+mn).解:mjmjjjjjmjjjxfxnnxnnx1111221221xxfxxnnxxnnSjjjjmjjjn其中nnfjj，mj,,2,1是jx出现的频率。3．利用契贝晓夫不等式求钱币需抛多少次才能使子样均值落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9?如何才能更精确的计算使概率接近0.9所需抛的次数?是多少?解:设需抛钱币n次,第i次抛钱币结果为niiii,,2,101次抛出反面第次抛出正面第，则i独立同分布.且有分布1,0,21xxPi从而41,21iiDE。设in1是子样均值.则nDE41,21.由契贝晓夫不等式.9.0410011.011.01.05.01.06.04.02nDEPPP2504.0100n，即需抛250次钱币可保证9.06.04.0P为更精确计算n值,可利用中心极限定理2..9.012.02415.06.0415.0415.04.06.04.0nnnnPP645.12.0n68n.其中x是1,0N的分布函数.4.若一母体的方差2=4,而是容量为100的子样的均值.分别利用契夫晓夫不等式和极限定理求出一个界限,使得-(为母体的数学期望E)夹在这界线之间的概率为0.9.解:设此界限为.由9.012DP由此.6325.04.0.10041.022nD由中心极限定理,.9.012DDDPP.645.1.95.0DD.329.01004645.15．假定1和2分别是取自正态母体N(,2)的容量为n的两个子样(n11211,,,),和(n22221,,,)的均值,确定n使得两个子样均值之差超过的概率大约为0.01.解:nNi2,~.2,1i且相互独立.，所以nN2212,0~于是01.021222222121nnnPP.005.02n.258.2n.14n6．设母体~N(,4)，（n,,,21）是取自此母体的一个子样,为子样均值,试问：子样容量n应取多大,才能使(1)E(2)1.0;3(2)E()1.0;(3)P（1.0)95.0.解:(1).401.04.1.042nnDE(2)dxexnEnx422221=.1.0242262nduen.255n(3).95.021.021.0nnPP.96.121.0n1537n.7.设母体pb,1~(两点分布),（n,,,21）是取自此母体的一个子样,为子样均值,若P0.2,子样容量n应取多大,才能使(1)P1.0p;75.0(2)E(丨p丨2).01.0若P1.0为未知数,则对每个p,子样容量n应取多大才能使E(丨p丨2).01.0解:(1)要.75.03.01.01.02.0PP当n10时,nii1服从二项项分布.2.0,10,kb查二项分布表知.75.07717.01074.08791.0313.01.0101iiPP所以n应取10.(2)nppDPE1.当2.0p时.16.01.016.02nnDpE(3)当P未知时,01.012nppDpE由此知,ppn1100,要对一切1,0p此时均成立.只要求p值使pp1最大,显然当21p,411pp最大,.所以当2541100n4时,对一切p的不等式均能成立.8设母体的k阶原点矩和中心矩分别为kv=Ek,k=ＥkE，k＝１,２,３,４，k1和km分别为容量n的子样k阶原点矩和中心矩,求证:(1)E31＝23n;(2)Ｅ41＝223n＋32243n.解:1213113311313[11jijiniiniEnnEE++]111kjiE注意到n,,,21独立,且0111iE.,,2,1ni所以.13231nE2121131414144134[1jijijijiiiEEnE111111216lkjilkjikjikjiEE=.3313132242222443nnnnnn9.设母体~N2,,子样方差2nS=n121nii,求E2nS,D2nS并证明当n增大时,它们分别为2+n1和n42+n1.解:由于.1~222nnSn所以121.1122nnDXnnE2222222101nnnnSEnESnn.10212244222242nnnnnSDnDSnn.10.设21,为取自正态母体~N2,的一个子样,试证:1+2,1-2是5相互独立的.证：(1).,cov21212221212121212121EEEEEEE由于1,2~N2,，所以.E212221,EEE即0,cov2121又2212,2~N，.2.0~221N所以由两个变量不相关就推出它们独立.(2)11．设母体的分布函数为Fx,n,,,21是取自此母体的一个子样,若Fx的二阶矩存在,为子样均值,试证1--与j--的相关系数=11n,ji,.,,2,1,nji证由于的二阶矩存在,不妨设.E2DjiDEDijiiji,,cov.11111122222221nnnnnDnDnnnDDjijiniiiinEnEEEEEnjjijijiji221222nnnnEEEnnjiiji22222222212222.11122nnnn12.设和2nS分别是子样n,,,21的子样均值和子样方差,现又获得第n+1个观测值,试证:(1)n+1=n+11n(n+1-n);(2)12nS=212111nnnnSnn.6证(1)nnnnnniinnnnn111111111112111211121112111111111)2(nnnininnnininininnnnnS21211121211112{11nnnnnnnininnnininnnn=.112122nnnnnSnn13.从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球,令=0表示取到白球,=1表示取到黑球.求容量为5的子样51,,的和的分布,并求子样均值和子样方差2nS的期望值.解:i相互独立都服从二点分布,32;1bEi=.32D.92i5,2,1i所以,32E.4589212nnESn521服从二项分布.32;5b其分布列.313255kkkkp.5,2,1,0k14.设母体服从参数为的普哇松分布,n,,,21是取自此母体的一个子样,求：(1)子样的联合概率分布列:(2)子样均值的分布列、E、D、和E2nS。解:(1)1,0.!,,,112211iininxnikninnkkeekkkkpii(2)nii1服从参数为n的普哇松分布,所以的分布列为72,1,0.!keknnkpnk.1.,2nnESnDEn15.若n,,,21是取自正态母体N2,的子样,求kiiu1和nriiv,nrk0的联合分布.解:由于n,,,21相互独立,又,0nrk所以u和v相互独立,2,~kkNu,21,1~rnrnNv，所以vu,的联合分布是二维正态分布0,1,,1,22rnkrnkN.16.设母体nN,,,,,,,~,122212121是取自此母体的一个子样,求子样均值niiniinn1211211,1,的分布密度函数.解:二维正态变量的和niinii1211,仍为二维正态变量,其五个参数分别为111nEnii,212nEnii2111nDnii2212nDnii21212122111222121211112nnnEnnnnEiininiinii因此21,服从.,,,,222121nnN17.设母体的分布列为P(k)=N1,k=1,2,,N.现进行不放回抽样，为子样n,,,21的均值,试求E和D(表示成N的函数).解:由于N有限,而抽样不返回,所以n,,,21不是简单随机子样,i的分布列与母体相同,但不相互独立,8.2,1.2111NiNNkENki