平面图形面积

§3平面曲线的弧长§4旋转曲面的面积§1平面图形的面积§5定积分在物理中的应用§2由平行截面面积求体积小结与习题第十章定积分的应用§6定积分的近似计算一、直角坐标系情形二、参数方程§1平面图形的面积三、极坐标系情形复习:定积分的几何意义•曲边梯形的面积:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形y=f(x)ab0xy怎样求面积呢？dxxfba)(.1A-A0)(xf0)(xfA表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0xxyy00AA321)(AAAdxxfba则2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图•结论：的代数和表示积的值都可用区边梯形面dxxfba)(几何意义abxyy=f(x)2A1A3A0•应用例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图①中，被积函数（,0)(]0[)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图②中，被积函数（,0)(]21[)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图③中，被积函数（,0)(][1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图④中，被积函数（0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0xy=x22yy0xy=f(x)y=g(x)ab讲授新课:•直角坐标系xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(badxxfxfA)]()([12一、直角坐标系情形xxxxx曲边梯形的面积讨论：由左右两条连续曲线xy(y)、xj(y)与上下两条直线yc、yd所围成的图形的面积S如何求？Oxycdxy(y)xj(y)dyyySdc)]()([yj。答案：下页由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线ba[f(x)g(x)]dx。Sxa、xb所围成的图形的面积为ab例1求椭圆求椭圆12222byax所围成的图形面积。S4S14dxxaaba]0[220dxxaaba2204442aabab。dxxaaba2204442aabab。xyOy22xaabS1则椭圆的面积为下页由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线ba[f(x)g(x)]dx。Sxa、xb所围成的图形的面积为解：设椭圆在第一象限的面积为S1，S4S14dxxaaba]0[220x1O-11yy21x2y211x3解：由对称性，图形面积是第一象限部分的两倍。S2[]dxxxdxxx)112()211(23121022下页例2求曲线y21x2、y211x与直线x3、x3所围成的图形的面积。dxxxdxxx)112()211(23121022例3计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积。8y-22x2O444(8,4)(2,2)解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间[2，4]。首页A18]61421[)214(4232242yyydyyy。A18]61421[)214(4232242yyydyyy。18。•参数方程，ttyytxxC给出是由参数方程设曲线],[),(),(,0)()()(],['txt，xty连续可微且连续上在，abbaxbxa)(),(),(或记轴所围图形面积公式为和及直线则由曲线xbxaxC,.)()('dttxtyA如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytxyj21()().ttAttdtyj（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(txj具有连续导数，)(tyy连续.曲边梯形的面积•二参数方程例4求椭圆12222byax的面积.tbytaxsincosaydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab椭圆的参数方程解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．设由曲线)(jr及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，)(j在],[上连续，且0)(j．xoddjddA2)]([21.)]([212jdA三、极坐标系情形)(jr曲边扇形的面积面积元素例5求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.14AAdaA2cos214402.2axy222cosa1A解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积例6求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a..232add2)cos1(02212aAd)coscos21(202a2sin41sin2232a0解利用对称性知例7设曲线)(xfy过原点及点)3,2(，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴和曲线)(xfy围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线)(xfy围成的面积的两倍，求曲线方程.解：1S2Sxyo)(xfy),(yx122SSxdxxfS02)(])([2)(00xxdxxfxydxxf两边同时对求导xyxyxf22)(3yyx2,2cxy因为曲线)(xfy过点)3,2(29c,292xy因为)(xf为单调函数.223xy积分得所以所求曲线为回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(补充:定积分的元素法曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。abxyo)(xfy面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[ba分成n个长度为ix的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄曲边梯形的面积为iA，则niiAA1.（2）计算iA的近似值iiixfA)(iix（3）求和，得A的近似值.)(1iinixfA（4）求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(abxyo)(xfy提示若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxxdA面积元素当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤：1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2)设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(；3)以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得badxxfU)(，即为所求量U的积分表达式.这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。xyo)(xfyab平面图形的面积xxx第一步：取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量A的近似值，记作dA；如何用元素法分析？＝？dAxyo)(xfyab平面图形的面积xxx如何用元素法分析？xxfA第一步：取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量A的近似值，记作dA；xyo)(xfyab第二步：写出面积表达式。badxxfA)(平面图形的面积xxx如何用元素法分析？dxxfdA＝xyo)(1xfy)(2xfyab平面图形的面积xxx第一步：取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量A的近似值，记作dA；如何用元素法分析？＝？dAxyo)(1xfy)(2xfyabbadxxfxfA)]()([12平面图形的面积xxx第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？dxxfxfdA12＝例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.)1,1()0,0(dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx解两曲线的交点面积元素微元法求平面图形的面积举例例2计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选为积分变量x]3,2[x],0,2[)1(xdxxxxdA)6(231],3,0[)2(xdxxxxdA)6(3222xyxxy63解两曲线的交点于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253例3计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydyyydA242.dy)yy(A1824422xy224xy两曲线的交点解求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结作业:P2421-6