拉格朗日中值定理的几种特殊证法

届学士学位毕业论文关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法学号：姓名：班级：指导教师：专业：系别：完成时间：年月I学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法》是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。指导教师签名：时间：II摘要拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用,本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明,其中在分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法,在几何法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻,还将其应用到求极限,证明函数性态等具体问题中.关键词：拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理IIISeveralSpecialProofsontheLagrange’sMeanValueTheorem08404141ZHAOXia-yanMathematicsandAppliedMathematicsTutorWANGJian-zhenAbstractLagrange’smeanvaluetheoremplaysanimportantroleinsometheoryeducationsinHigheralgebraandMathematicalanalysis,thisthesisintroducesseveralparticularmethodsprovingmethodsinordertocomprehendLagrange’smeanvaluetheoremprecisely.Firstofall,applyinganalysisandgeometrywithconstructingauxiliaryfunctiontoproveLagrange’smeanvaluetheorem,intheaspectofanalysis,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionincludethereasoningmethod,originalfunctionmethod,thedeterminantmethodandchordanglemethod,Intheaspectofgeometric,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionsincludethepoorconstructionmethod,areastructuremethodandtherotatingcoordinatetransformationmethod;secondly,alsousethetheoremofnestedintervalprovingmethodandtheBanachfixedpointtheoremtoproveit;finally,thisarticleappliesLagrange’smeanvaluetheoremtothespecificquestioninthelimit,provingthefunctionofstateandotherissues.KeyWords:Lagrange’smeanvaluetheorem;Thetheoremofnestedinterval;TheBanachfixedpointtheoremIV目录1．引言.............................................................12.利用分析法构造辅助函数...........................................13.利用几何法构造辅助函数...........................................44.利用区间套定理证明...............................................65.利用巴拿赫不动点定理证明.........................................76．拉格朗日中值定理的应用...........................................87.结语............................................................11参考文献...........................................................12致谢...........................................................12长治学院学士学位论文1关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法08404141赵夏燕数学与应用数学指导教师王建珍1.引言微分中值定理作为微分学中的重要定理,是微分学应用的理论基础,是微分学的核心理论.微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理,它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具,其中拉格朗日中值定理是核心,从这些定理的条件和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况,柯西定理和泰勒定理是其推广.首先回顾下拉格朗日中值定理以及它的预备定理—罗尔中值定理.定理1.1(罗尔中值定理)]1[若函数f满足如下条件:(ⅰ)f在闭区间],[ba上连续;(ⅱ)f在开区间),(ba内可导;(ⅲ))()(bfaf;则在),(ba内至少存在一点,使得0)(f.定理1.2(拉格朗日中值定理)]2[若函数f满足如下条件:(ⅰ)f在闭区间],[ba上连续;(ⅱ)f在开区间),(ba内可导;则在),(ba内至少存在一点,使得)(fabafbf)()(.课本上给出了拉格朗日中值定理的基本证法,在此基础上,下面给出了拉格朗日中值定理的几种特殊证明方法.2.利用分析法构造辅助函数拉格朗日中值定理中的两个条件与罗尔中值定理中的前两个条件相同,二者的区别仅仅在于区间端点处的函数值是否相等,基于这种关系,自然想到构造一个辅助函数,使它满足罗尔中值定理的条件,从而是否由罗尔中值定理的结论导长治学院学士学位论文2出拉格朗日中值定理的结论呢?事实上解决问题的关键是构造的这个辅助函数)(xF要在],[ba的端点有相同的函数值,即)()(bFaF,以下将对如何利用分析法构造辅助函数进行深入的分析.证明方法2.1（推理法）由拉格朗日中值定理结论)(fabafbf)()(,可知其右端是一个常数,故可设abafbf)()(k,则有)()()(abkafbf,即kaafkbbf)()(仔细观察其特点,不难发现一个能使)()(bFaF的新函数:kxxfxF)()(,故)(xF就是证明中所要利用的辅助函数.证明过程如下:令kxxfxF)()(,其中kabafbf)()(,由题设可知,)(xF在],[ba上连续,在),(ba内可导,且)()(bFaF,即)(xF满足罗尔中值定理,故在),(ba内至少存在一点,使得)(F)(f0k,即)(fabafbf)()(证毕.证明方法2.2（原函数法）这种方法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数.由拉格朗日中值定理的变形))(()()(abfafbf得)(f0)]()([)(afbfab,令x得)(xf0)]()([)(afbfab,两边积分可得0)]()([))((cxafbfabxf,取0c得0)]()([))((xafbfabxf,若令xFxafbfabxf)]()([))((,容易验证)()(bFaF)()(bafabf,知xF满足罗尔中值定理的条件,所以xF就是所求的辅助函数,证明过程如下:令xFxafbfabxf)]()([))((,x],[ba,因为函数在闭区间],[ba内连续,在开区间),(ba内可导,且)()(bFaF,所以至少存在一点),(ba,使得长治学院学士学位论文3)(F0,又)(F)(f)]()([)(afbfab,所以即)(f=abafbf)()(,证毕.证明方法2.3(行列式法)由于想得到)()(bFaF,故可根据行列式的性质]3[,设xF1)(1)(1)(xfxbfbafa，所以可以得到辅助函数并且满足0)()(bFaF.证明如下:设xF1)(1)(1)(xfxbfbafax],[ba,则由行列式的性质可得0)()(bFaF,所以xF满足罗尔中值定理,因而至少存在一点),(ba,使得)(F0,又)(xF=0)(11)(1)(xfbfbafa0)(11)(0)()(xfbfbbfafba)()(bfaf))((abxf,所以0))(()()()(abfbfafF,即)(f=abafbf)()(.证明方法2.4(弦倾角法)目的是为了得到aFbF,设连接连续曲线L:))(,{(xfx|}bxa,两端点A和B的弦为AB(图1),其倾倾斜角为,则－22，tancossinabafbf)()(,也即有coscos)(sincosaafbbf,所以令sincos)()(xxfxF,如此所得到的辅助函数)(xF就能满足要求,证明如下:长治学院学士学位论文4图1设sincos)()(xxfxF,其中曲线L:))(,{(xfx|}bxa,如上图所示,且－22,则可得xF满足罗尔中值定理的条件,故至少存在一点),(ba,使得0)(F,又)(F)(fsincos,所以)(fabafbf)()(,证毕.3.利用几何法构造辅助函数利用数形结合的思想方法解决数学问题有着非常直观的效果,对于微分中值定理的证明,利用几何图形的特性观察分析,同样可以作出合适的辅助函数,下面用不同的方法来加以说明.证明方法3.1(作差法）因为曲线L与其弦AB分别在ax和bx两点的高度对应相同（如图1），所以不妨考虑过曲线方程和弦方程的差来构造辅助函数,于是令)(xF)(xf[abafbf)()()()(afax],或)(xF)(xf[abafbf)()()()(bfbx],则可得)()(bFaF,因此所构函数)(xF满足罗尔中值定理.证明方法如下:设)(xF)(xf[abafbf)()()]()(afax,)(xF在闭区间],[ba上连续,)(xF在开区间),(ba内可导,且)()(bFaF,所以)(xF满足罗尔中值定理,则在),(ba内至少存在一点,使)(F0,即0)()()()(abafbffF,整理可得)(fabafbf)()(.长治学院学士学位论文5证明方法3.2