第三章---杆件的应力与强度计算1

2020/5/311第三章杆件的应力与强度计算§3-1引言内力：分部内力系的合力，无法反映出分布内力系在截面上的分部规律应力：反映出分布内力系在截面上的分部规律思路（“三方面”法）：变形几何关系、物理关系、静力学关系变形几何关系：杆件的应变规律←变形规律→假设物理关系：应力与应变间的关系静力学关系：内力与应力的关系（内力与外力的关系）材料的力学性能：材料在外力作用所表现出来的变形及破坏的规律截面平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面§3-2拉（压）杆的应力与应变一、拉（压）杆横截面上的应力FF所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与轴线垂直。平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线。AFN正应力σ的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负(或背向截面为正，指向截面为负）。根据材料均匀性假设，设想杆件是由无数纵向纤维所组成;根据平面假设,任意两横截面之间所有纵向纤维(轴线方向)的变形都相同,即轴向均匀伸长;根据材料均匀性假设,所有纵向纤维的性能都相同;由于所有纵向纤维的性能相同变形相同,横截面上的分布内力系也应均匀。于是,横截面上的正应力为常量。均匀分布注：上式只在杆上离外力作用点稍远处（大于杆的横向尺寸）才是正确的，而对于过集中力作用点的横截面及其附近的横截面不适应。圣维南原理：力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。xxxAFN对于变截面直杆，有AFNxx对于等截面直杆，有对于等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力FNmax处，也就是最易破坏处；对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑FNx，同时还要考虑Ax。例3-1如图所示起吊三角架，已知AB杆由2根80×80×7等边角钢组成，F=130kN，＝30°。求AB杆横截面上的应力。解：（1）计算AB杆内力得由,0yF取节点A为研究对象，030sin1NFF260kN2N1FF（2）计算σABMPa7.1191010286.10102606431NAFABCαBAFF1NF2NFA例3-2起吊钢索如图所示，截面积分别为A1=3cm2，A2=4cm2，l1=l2=50m，P=12kN，ρ=0.028N/cm3，试绘制轴力图，并求σmax。PA2A1BAC1221解：（1）计算轴力AB段：取1—1截面)0(1111N1lxxAPFBC段：取2—2截面)(12112211N2lxllxAlAPF（2）计算应力MPa4.41101031042.126431NAFBBMPa45.32101041098.126432NAFCCMPa4.41maxBFS(kN)BCA1212.98NF二、拉（压）杆斜截面上的应力coscosNAFAFp正应力：2coscosp2sin2sinp切应力：全应力:求斜截面上内力、应力仍应用截面法。思路：kkFNασατα2cos2sin2当=0时，，即拉压杆最大正应力发生在横截面上。且在此截面上切应力为零。0,max当=45°时，，即在与轴线成45°的斜截面上切应力取得最大。2,2max当=90°时，，即平行于轴线的纵向截面上无任何应力。0符号的规定：正应力拉伸为正压缩为负剪应力：对研究对象任一点取矩顺时针为正逆时针为负符号的规定：自x转向n逆时针时为正号顺时针时为负号αxn(1)αxn(2)三、拉（压）杆的应变.胡克定律lll1llε—纵向线应变bbb1bbε´—横向线应变在弹性范围内，有E在弹性范围内，有E称为材料的弹性模量，量纲同应力胡克定律对拉（压）杆EAFlEAlFlEllNEA—杆件的抗拉（压）刚度称为横向变形系数或泊松比。112020/5/3112§3-3材料在拉伸和压缩时的力学性能材料的力学性能：反映材料在受力过程中所表现出的与结构（试件）几何尺寸无关的特性。如弹性模量E,极限强度等。研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些指标，以作为选用材料，计算材料强度、刚度的依据。一般用常温静载试验来测定材料的力学性能。试验设备：万能试验机标准试样:GB228-76圆截面试件：l＝10d，l＝5d标距：试样上试验段长度板试件（矩形截面）：A65.5,A3.11ll拉伸图(P-l图)低碳钢拉伸时的力学性能弹性阶段（OA）屈服（流动）阶段（AC）强化阶段（CD）颈缩阶段（DE）试样的变形完全是弹性的。即加载变形，卸载后变形能完全恢复。一、弹性阶段（OA段）OAOA’段：σ∝ε，σ=Eε，σp——比例极限A′A段：σe——弹性极限tgE二、屈服阶段(AC段)塑性变形（残余变形）：卸载后不能恢复的变形。变形特点：σ基本不变，ε显著增加——屈服或流动上屈服极限——不稳定下屈服极限——稳定——屈服极限（σs）滑移线（与轴线成45°夹角）三、强化阶段（CD段）材料的强化：材料恢复抵抗变形的能力。σb——强度极限（或抗拉强度）四、颈缩阶段（DE段）试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象。一直到试样被拉断。试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由l变为l1，横截面积原为A，断口处的最小横截面积为A1。%1001lll断面收缩率：延伸率（伸长率）：%1001AAA材料塑性指标材料的分类δ105%——塑性材料δ105%——脆性材料几个概念卸载定律：把试样拉到超过屈服极限后卸载，在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。冷作硬化：在材料强化阶段卸载后再加载,材料比例极限提高,而塑性降低的现象。e是试样的弹性应变冷作时效：在常温下把材料预拉到强化阶段，然后卸载，经过一段时间后再受拉，则其线弹性范围的最大荷载还有所提高。是试样的塑性应变p铸铁在拉伸时的力学性能铸铁拉伸时的力学性能特点：1）无屈服和颈缩现象；2）拉断时应力较小；3）基本无直线段，近似服从胡克定律，并以割线的斜率作为弹性模量。只有一个强度指标σb其它金属材料在拉伸时的力学性能对于没有明显屈服阶段的塑性材料，当产生的塑性应变ε＝0.2%时，所对应的应力作为塑性指标，并用σP0.2表示,称为规定非比例伸长应力（名义屈服极限）低碳钢在压缩时的力学性能铸铁在压缩时的力学性能（1）抗压强度抗拉强度，（2）延伸率δ比拉伸时大；（3）断口与轴线夹角约成45°。拉压5~3§3-4失效、许用应力和强度条件失效：由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。材料的两种失效形式：（1）塑性屈服：指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。塑性材料如低碳钢等以塑性屈服为标志。（2）脆性断裂，材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂。脆性材料如铸铁等以脆断为失效标志。许用应力：保证安全可靠工作所容许的最大应力值。极限应力：失效时的应力。塑性材料—塑性屈服—极限应力σu—屈服极限σs脆性材料—脆性断裂—极限应力σu—强度极限σbnu许用应力[σ]为bnbsns对脆性材料对塑性材料材料性质理想构件与实际构件之差别加载性质工作条件安全系数的选取塑性材料：n=1.2~2.5脆性材料：n=2.0~3.5拉、压杆的强度条件：AFN应用强度条件可求解以下三类问题：1、强度校核——已知A、[σ]及受载情况，校核式是否满足；AFN/3、许可载荷——已知A及[σ]，根据强度条件确定许可载荷；AFN2、截面设计——已知载荷及[σ]，根据强度条件设计截面尺寸；/NFA例3-3气动夹具如图所示，已知气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa。活塞材料为20号钢，[σ]＝80MPa。试设计活塞杆的直径。解：6262101404106.04DpFkN24.9N9236kN24.9NFF2463N2m1016.110801024.94FdAmd0122.0则活塞杆的直径d=0.012m=12mm工件例3-4已知：α=30°，斜杆由二根80×80×7等边角钢组成，横杆由二根10号槽钢组成，材料均为A3钢，许用应力[σ]=120MPa。试求许可载荷F。解：1、受力分析，画受力图。设FN1为拉力，FN2为压力。由平衡条件,0yFFFF230sin1N2、计算许可轴力由式AFN得AFN由附录Ⅱ型钢表查得斜杆横截面积A1=10.86×2=21.72cm2，横杆横截面积A2=12.748×2=25.496cm2。,0xF30cos230cos1N2NFFFF732.1[FN1]=21.72×10-4×120≈260(kN)[FN2]=25.496×10-4×120=306(kN)kN130226021N1FFkN5.176732130673212N2..FF所以，许可载荷[F]=130kN30°xyFFN1FN2A§3-6薄壁圆筒的扭转一、薄壁圆筒扭转时的切应力1、变形：（1）各圆周线的形状、大小及间距均不变。（2）各纵向线均倾斜了一微小角度γ。（3）原矩形变成平行四边形2、结论：在横截面及包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切于截面的切应力，并且沿圆周方向各点的切应力相等。壁厚很小—可以认为沿筒壁厚度方向切应力不变沿圆周方向各点的切应力相等—切应力在横截面上均匀分布薄壁圆筒：)20(00dtdttRddA：微内力tRdtRRdARTA2202所以，薄壁圆筒横截面上切应力tRmtRT2222切应力的计算当薄壁圆筒发生扭转变形时，单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，称为切应变或角应变γ。φ为圆筒两端面的相对扭转角，l为圆筒的长度lrabbbtanO二、剪切胡克定律剪切虎克定律：当切应力不超过剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ成正比。G即：trMe22lrτ∝γ三个弹性常数：E、ν、G对各向同性材料，三者有以下关系：G—材料的剪切模量，与应力同量纲)1(2EG由薄壁圆筒的扭转试验表明：在弹性范围内eMeM三、切应力互等定理从薄壁圆筒上取单元体，当薄壁圆筒受扭时，此单元体的左、右侧面上有切应力τ，因此在这两个侧面上有剪力τ.tdy，显然这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，从而形成一个力偶，其力偶矩为(τ.tdy)dx。由单元体平衡条件，在单元体的上、下两侧面上必有切应力τ´，形成一个力偶，力偶矩为(τ´.tdx)dydytdxdxtdy)()(即，在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且大小相等，均垂直于两平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。——切应力互等定理纯剪切:单元体的四个侧面上只有切应力，没有正应力。§3-7圆轴扭转时的应力与强度条件变形：（1）各圆周线的形状、大小及间距均不变，仅绕轴线相对转过了一个角度。（2）各纵向线均倾斜了一微小角度γ。（3）原矩形变成平行四边形一、变形几何关系圆轴扭转变形后横截面仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变——平面假设dxdRadaatgγ—圆截面边缘上a点的切应变,发生在垂直于半径Oa的平面内。dxd距圆心为ρ的一点的切应变为对一确定平面，constdxd轴的变化率沿扭转角—xdxd二、物理关系dxdGG＝由剪切胡克定律，知即：横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成正比。对一确定平面，constdxd0,0当max