杆件的应力与强度计算

FRAK总应力：一、应力的概念受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。AFAFpAddlimRR0总应力p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。总应力分解为与截面相切pK工程中应力的单位常用Pa或MPa。1Pa=1N/m21MPa=1N/mm2另外，应力的单位有时也用kPa和GPa，各单位的换算情况如下：1kPa=103Pa，1GPa=109Pa=103MPa1MPa=106Pa正应力σ剪应力τ与截面垂直说明：（1）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的，所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的名称。（2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。（3）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内力。第2节材料在轴向拉压时的力学性能材料在拉伸、压缩时的机械性能•标准圆试件：l0/d0=10或5，常用d=10mm，l0=100mm的试件进行测试。称为标距；•压缩时，圆截面试件高度h与直径d之比为1—3。•试验通常在室温的条件下按一般的变形速度进行。在上述条件下所得材料的力学性质，称为常温、静载下材料在拉伸（压缩）是的力学性质。低碳钢在拉伸时的力学性质拉伸过程•弹性阶段•屈服阶段•强化阶段•局部变形阶段强度指标与塑性指标•对低碳钢这一类材料：屈服极限和强度极限是衡量其强度的主要指标。•弹性变形•塑性变形•延伸率和截面收缩率：%100%1001AAAll低碳钢压缩铸铁拉伸与压缩第3节轴向拉压杆的应力与强度计算问题提出：FPFPFPFP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度(1)内力在截面分布集度应力；(2)材料承受荷载的能力。FPFP’变形规律试验：一、拉（压）杆横截面上的应力观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行；所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只是它们之间的相对距离增大了。轴向拉伸和压缩根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，可推断：轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。由此可知：横截面上只有正应力σ。假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应力σ都相同。FNFP轴向拉伸和压缩通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力——正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横截面上正应力的计算公式为AFN式中A—拉（压）杆横截面的面积；FN—轴力。当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号；当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。轴向拉伸和压缩对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应力。通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。AFmaxNmax对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。轴向拉伸和压缩例图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。用截面法取节点B为研究对象45°12BF1NF2NFxy45°轴向拉伸和压缩0yFkN3.281NFkN202NF0xF045cos21NNFF045sin1FFNBF1NF2NFxy45°2、计算各杆件的应力。MPa90204103.2823111AFNMPa8915102023222AFN轴向拉伸和压缩σαPαpατα图示直杆拉力为P横截面面积A横截面上正应力为为斜截面上的应力计算公式斜截面上正应力为pα斜截面上的应力称为全应力PPαAAαAPANcoscosAPAPp2sin2cossinsin)2cos1(2coscos2ppPN＝Pαpα二、斜截面上的应力σ=0说明緃向无正应力2.最大应力和最小应力（1）最大最小应力正应力当α＝00时拉杆σmax=σ压杆σmin=-σ(2)最大最小应力剪应力当α＝+450时当α＝900时σ/2τmaxτminσ/2450-45022sin20045min45max三、强度计算n0塑性材料S0脆性材料b0极限应力n—安全系数—许用应力。任何一种材料都存在一个能承受应力的上限，这个上限称为极限应力，常用符号σo表示。轴向拉伸和压缩ssn塑性材料的许用应力脆性材料的许用应力bbn选取安全系数的原则是：在保证构件安全可靠的前提下，尽可能减小安全系数来提高许用应力。确定安全系数时要考虑的因素，如：材料的均匀程度、荷载的取值和计算方法的准确程度、构件的工作条件等。塑性材料nS取1.4～1.7；脆性材料nb取2.5～3。某些构件的安全系数和许用应力可以从有关的规范中查到。轴向拉伸和压缩AFNmaxσmax≤[σ]σmax是杆件的最大工作应力，可能是拉应力，也可能是压应力。对于脆性材料的等截面杆，其强度条件式为：ccttmaxmax式中：σtmax及[σt]分别为最大工作拉应力和许用拉应力；σcmax及[σc]分别为最大工作压应力和许用压应力。1.强度条件轴向拉伸和压缩AFNmax根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：NFA2、设计截面：AFN3、确定许可载荷：⒉强度条件在工程中的应用轴向拉伸和压缩例正方形截面阶梯形砖柱。已知：材料的许用压应力[σC]=1.05MPa，弹性模量E=3GPa，荷载FP=60kN，试校核该柱的强度。解（1）画轴力图如图b所示。（2）计算最大工作应力需分段计算各段的应力，然后选最大值。MPa96.0MPa25025010603NABABABAFMPa72.0MPa500500101803NBCBCBCAF轴向拉伸和压缩σmax=0.96MPa＜[σC]=1.05MPa（3）校核强度比较得：最大工作应力为压应力，产生在AB段。即|σmax|=0.96Mpa。所以该柱满足强度要求。轴向拉伸和压缩例已知钢筋混凝土组合屋架受到竖直向下的均布荷载q=10kN/m，水平钢拉杆的许用应力[σ]=160MPa。试按要求设计拉杆AB的截面。⑴拉杆选用实心圆截面时，求拉杆的直径。⑵拉杆选用二根等边角钢时，选择角钢的型号。钢拉杆q8.4m解（1）整体平衡求支反力kN42ByAyFFFAyFBy轴向拉伸和压缩钢拉杆q=4.2kN/mFAy（3）设计拉杆的截面。FNFCyFCx04.1422.4NABAyFllqFkN63NABF（2）求拉杆的轴力。用截面法取左半个屋架为研究对象，列平衡方程ΣMC=0][NmaxAFAB轴向拉伸和压缩223Nmm8.393mm1601063][ABFA当拉杆为实心圆截面时22mm8.3934dAmm39.22mm14.38.3934d取d=23mm。当拉杆用角钢时，查型钢表。每根角型的最小面积应为221mm9.196mm28.3932AA选用两根36×3的3.6号等边角钢。轴向拉伸和压缩36×3的3.6号等边角钢的横截面面积A1=210.9mm2故此时拉杆的面积为A=2×210.9mm2=421.8mm2＞393.8mm2能满足强度要求，同时又比较经济。轴向拉伸和压缩四、应力集中的概念第5节平面弯曲梁的应力与强度计算CD梁段横截面上只有弯矩,而没有剪力，这种平面弯曲称为纯弯曲。AC和DB梁段横截面上不仅有弯矩还伴有剪力，这种平面弯曲称为横力弯曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB弯曲应力与圆轴扭转同样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究方法是：观察变形应力分布应力计算公式σ与ε物理关系静力学关系一、纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲应力Oyxzboyz观察纯弯曲梁变形现象o1ao2b12121.几何变形方面弯曲应力zyxoMMOyz所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸边的纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。横向线仍为直线但转过了一个角度；矩形截面的上部变宽下部变窄。1212MMo1a1o2b1弯曲应力平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤维之间无挤压。单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。弯曲应力中性层zy中性轴受压区受拉区中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时，其横截面绕中性轴旋转某一角度。弯曲应力1212o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx梁中取出的长为dx的微段变形后其两端相对转了d角a1b1O2O1dr弯曲应力距中性层为y处的纵向纤维ab的变形式中ρ为中性层上的纤维的曲率半径。可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与其的坐标成正比。则纤维的应变为原长：dxdOOabr21211111OObaababbaO1O2rrrryyddd)(a1b1O2O1dr1212o1ao2b变形后长：rdyba)(11弯曲应力2.物理关系方面由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应力为rEyE梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应力沿截面高度成线性分布。中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘上各点处正应力最大，其它点的正应力介于零到最大值。弯曲应力xyzOdA坐标系的选取：y轴：截面的纵向对称轴。z轴：中性轴。x轴：沿纵向线。受力分析：dA上的内力为σdA，于是整个截面上所有内力组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ，所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零，即：ANdAF00dAzAyMAzMMdAyΣFx＝0ΣMy=0ΣMz=M(yz)M3.静力学关系方面弯曲应力ANdAF00dAzAyMAzMMdAy0SZAEydAErr故：Sz=0即中性轴z必过横截面的形心。ry代入胡克定律：0rE及：0yzAIEdAyZErr故：Iyz＝0，y轴为对称轴，z轴又过形心，则轴y，z为横截面的形心主惯性轴。MEdAEIyZArr2（中性层曲率公式）故：zEIMr1弯曲应力其中1／ρ是梁轴线变形后的曲率。称EIZ为梁的抗弯刚度。zIMyZEIMr1得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：ry代入：表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩成反比。弯曲应力zIMy计算时公式中代入M和y的绝对值。σ的正负可由弯矩的正负和所求点的位置来判断.-+zMzM+-弯曲应力zIMy适用条件是：(1)梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。(2)正应力不超过材料的比例极限。(3)梁产生纯弯曲。弯曲应力横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应力，而且有切应力。二、纯弯曲理论的推广zIyxM)(hlhl对于跨度与截面高度之比大于5的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比越大，误差就越小。梁在纯弯曲时