振动力学答案

Word资料请打双面习题与综合训练第一章2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为k则mgk其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知=324mghEJ则k=324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有mxkx所以固有频率3n24mhEJp2-2一均质等直杆，长为l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角2a＝h2F＝mg由动量矩定理：ahamgamgFaMmlIMI822cossin12122其中12cossinhlgaphamgmln22222304121ghalgahlpTn3π23π2π2222-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k和3k，悬臂梁的质量忽略不计。解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为21211kkkkk，212132kkkkkk，4241213231421432421kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)(42412132314214324212kkkkkkkkkkmkkkkkkkkkp2-4求题2-4图Fsin2FhmgFWord资料所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中1J、2J和3J是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。解：111/lGJk（1）222/lGJk（2）333/lGJk（3）)/(23323223lJlJJGJk（4）)(/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312lJlJIllJJlJJlJJGPIkkPnn知）由（2-5如题2-5图所示，质量为2m的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。解：此系统是一个保守系统，能量守恒系统的动能为：2222222212121212121RxIrxrmxmxmT系统的势能为：2222112121xkRxRkU总能量22211222212121214321xkRRkxRImmUTE由于能量守恒0230dd22112221xxkRRkxxRImmtE消去x得系统的运动方程为：02322112221xkRRkxRImm系统的固有频率为：2221221123RImmkRRkp2-6如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为0I，求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为)sin(tpn。很小，系统的动能为22212)(21)(2121lmamITO)cos(tppnn所以，222222122max212121lpapmpITnnnOWord资料取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为321,,，由0)(FmO，02233111lkbkgamak（A）由题意可知，系统势能为agmlkbkakV1222222323321211])[(21])[(21])[(21（B）将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，222223221max212121lkbkakV由，maxmaxVT得222222122212121lpapmpInnnO222223221212121lkbkak所以，有22212223212lmamIlkbkakpOn2-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64cm减至0.16cm，求阻尼系数c。解：振动衰减曲线得包络方程为：ntXAe振动20个循环后，振幅比为：200.640.16nTdeln420Tdn代入215TTd,得：2222ln44()20nnPN又10nstgPgd2ln4()20n＝224100gNc=6.9Ns/m32cmklac，222n3mlkap2-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：0220aklcImcnmlkapmlkamcmlIn32303312222220当n＝pn时，c＝cC323232mklampnmcnC2-9如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解：OmgXOYOFKFCWord资料222222222222222224222242224202224142nnncdnIkbbcaamlkbcakbcamlmlkbpmlbkplcanmlnpcabkmllblcmkakbcappnmlmlkmblcamlm当时m2-10如题2-10图所示，质量为2000kg的重物以3cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k=48020N/m，c=1960Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为022xpxnxn所以有x+cmx+kmx=0其特征方程为：2r+19602000r+480202000=0r=-0.494.875i所以：x=1c0.49tecos4.875t+2c0.49tesin4.875t由于npn，由已知条件，49.02000219602mcn，01.242000480202mkpn，00x，03.00xm/s。故通解为)sincos(21tpCtpCexddnt其中，875.422nppnd。（代入初始条件，当t=0时，x=0,1c=0当t=0时，x=0,2c=0.006x=0.0060.49tesin4.875tx=0.0060.49te(-0.49)sin4.875t+0.0064.875cos4.875当x=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当t=0.03s时，x=0.005m）代入初始条件，得006.0,0000201ddpxpxnxCxC，得tpeCxdntsin2物体达到最大振幅时，有0cossin22tppeCtpenCxddntdnt既得t=0.30s时，物体最大振幅为528.0)3.0875.4sin(006.03.049.0excm2-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为dp，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为m，求系统的无阻尼固有频率np、相对阻尼系数及对数衰减率。解：221nmp，22nppnd，npn；三个方程联立，解得：Word资料22222mdmdpp2m2n2dpp2221222dmmdddndpppppnT习题与综合训练第二章2-1已知系统的弹簧刚度k=800N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值12.41iiAA，若质量块受激振力ttF3cos360)(N的作用，求系统的稳态响应。解：由题意，可求出系统的运动微分方程为tmxnxpxn3cos36022得到稳态解)3cos(tBx其中mkBBB45.03604)1(022220222122tgnpn由dnTiiAAe2.41489.3π2797.0ln8.1lndddddTpTnTnT又22nppnd有579.3222ndnpnpp45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222Bpnpnn所以x＝1.103cos(3t－5127)2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率61rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1kg的质量后重新试验，测得共振频率86.52rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k由mkpn，共振时mkpn1所以mk6①又由当86.512mkpn②①与②联立解出m＝20.69kgk＝744.84N/m2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。解：列出平衡方程可得：Word资料222()sinsin()sin()stQWWkxwewtxggWQxkxwewtggkgQxxwewtWW所以：2nkgPWQhweW又因为ststWWkk即22222()nststhBPWweBWgw将结果代入得：Q=即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力tFtFsin)(0，弹簧支承端有运动taxscos，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。题2-4图解：选0sx时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，则()()smxkxxpt即()smxkxkxpt即0cossinmxkxkawtpwt（*）0p改成0F，下面也都一样利用复数求解，用jwte代换sinwt并设方程（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。()jwtxtBe代入方程（*）得02jpjkaBBekmw其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有22022pkaBBkmwkmw=2220420222422022222242211nnnnppapapkapmmmpwp2202211pak。2002kakakmwtgppkmw0kaarctgp2202201()sinsinarc1pkaxtBwtawttgkp其中,nnwkppm2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力tFsin0，求质量块的振幅。题2-5图解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，21xxx（A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到tPxkxksin02211（B）22xkxm（C）联立解得，Word资料tPkkkxkkkkxmsin02122121tPmkkkxmkkkkxsin)()(02122121所以)(2121kkmkkpn，n=0，得，