贝塞尔函数-5

数学物理方法贝塞尔函数(BesselFunction)一、贝塞尔函数的引出在柱坐标系下，对拉普拉斯（Laplace）方程或亥姆霍兹（Helmholtz）方程进行分离变量，将导出n阶Bessel方程。柱坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程问题时,以(,,)()()()uzRZz代入Lplace方程2222211()0uuuz如果圆柱上、下两底的边界条件不是齐次的，而圆柱的侧面的边界条件是齐次的，就得出22222()()0dydyxxxnyxdxdx一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示，从而就导入了一类特殊函数——贝塞尔函数。0)()(cossin)(2222222121RndRddRdeBeBzZnAnAzz引入新的自变量,上面最后一个方程可改写为x其中,n为任意实数或复数,本章中n只限与实数.二、贝塞尔方程的解这就是贝塞尔方程.22222()()0dydyxxxnyxdxdx——贝塞尔方程设上述贝塞尔方程有一个级数解，其形式为0)(002210axaxaxaxaaxykckkkkc其中,常数和可以通过把和它的导数、代入上式来确定。c)2,1,0(kakyyy到此，我们可以得到一个特解)0()1(!2)1(2201nmnmxymnmnmm用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n阶第一类贝塞尔函数，记作)0()1(!2)1()(220nmnmxxJmnmnmmn——贝塞尔方程的一个特解当n为正整数或零时，，故有)!()1(mnmn.)2,1,0()2()!(!)1()(20nxmnmxJmnmmn),2,1,0()!(!2)1()(220nmnmxxJmnmnmmn或nxJnxJxYnnnsin)(cos)()()()()(xYixJxHnnn——n阶贝塞尔函数——n阶纽曼函数(第二类n阶贝塞尔函数)——n阶汉克尔函数(第三类n阶贝塞尔函数)(n≠整数)贝塞尔函数的图象x()nJx诺伊曼函数的图象x()nJx三、当n为整数时贝塞尔方程的通解取哪一个特解?一般情况下认为选取第二类贝塞尔函数比较方便.不过,当n为整数时nxJnxJxYnnnsin)(cos)()(上式右端无意义!为此,要想写出整数阶贝塞尔方程的通解必须要修改第二类贝塞尔函数的定义.在n为整数的情况下,我们定义第二类贝塞尔函数为)()()(xBYxAJxynnnxJnxJxYnnnansin)(cos)(lim)(由于当n为整数时,,所以上式右端的极限是形式的不定型的极限,依据洛必达法则并经过冗长的推导,最后得到)(cos)()1()(xJnxJxJnnnn00,11)!()2()1(2)2)(ln(2)(1002200mkmmmkmxcxxJxY),3,2,1()1111()!(!)2()1(1)2()!()!1(1)2)(ln(2)(10100221020nkkmnmxxmmncxxJxYmkmnkmmnmmnnmn,5772.0)ln131211(limnncn其中,称为欧拉常数.依据重新定义的函数,它的确是贝塞尔方程的解,而且与是线性无关的(因为当时,为有限值,而为无穷大.)(xJn0x)(xJn)(xYn综上所述,贝塞尔方程22222()()0dydyxxxnyxdxdx.)()(xYBxJAynn的通解为其中A,B为任意常数,n为任意实数.四、贝塞尔函数的生成函数函数nnttxtxJe)()1(2称为整数阶第一类贝塞尔函数的生成函数.它对于得到n取整数值的第一类贝塞尔函数的诸多性质是非常有用的,然后常可证明这些性质对所有的n也成立.五、贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的,而是有一定的联系,这种联系建立在递推公式上.首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.在下式中,令n=0及n=1),2,1,0()(!2)1()(220nmnmxxJmnmnmmn),2,1,0()!(!2)1()(220nmnmxxJmnmnmmn22266244220)!(2)1()!3(2)!2(221)(kxxxxxJkkk)!1(!2)1(!4!32!3!22!222)(12127755331kkxxxxxxJkkkn=0；m=0→∞：n=1；m=0→∞：22212222221])!1[(2)22()1(])!1[(2)1(kxkkxdxdkkkkkk)!1(!2)1(1212kkxkkk取出第一个级数的第k+1项求导数,得0()Jx22212222221])!1[(2)22()1(])!1[(2)1(kxkkxdxdkkkkkk)!1(!2)1(1212kkxkkk)!1()!1(2)1(2)1(2212kkxkkkk)!1)(1(!2)1(2)1(2212kkkxkkkk!)1()!1(kkk!3)13(!4)!13()!1(!2)1(!4!32!3!22!222)(12127755331kkxxxxxxJkkkn=1；m=0→∞：得到关系10)(JxJxdd)!1(!2)1(!4!32!3!22!222)(12127755331kkxxxxxxJkkk将乘以并求导数,又得到)(1xJx])!1)(!(2)1(!222[)]([12123421kkxxxxddxxJxddkkk221223)!(2)1(2kxxxkkk])!(2)1(21[22222kxxxkkk即)()]([01xxJxxJxdd以上结果,可以推广.)()]([01xxJxxJxdd10)(JxJxdd下列结论对所有的n都是成立的:.)()]([)6(;)()]([)5(;)()()()4(;)()()()3(;)]()([21)()2(;)()(2)()1(111'1'11'11xJxxJxxddxJxxJxxddxnJxxJxxxxJxnJxxxJxJxxJxJxnxJnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnJJJ六、可变换成贝塞尔方程的方程方程0)()12(2222yxyxkyx其中都是常数,有通解,,,k)()(21xYcxJcxyk其中若,方程可视为欧拉或柯西方程,是可解的..22k0七、贝塞尔函数的渐近公式对于大的值,有下列渐近公式:x.)24sin(2~)(,)24cos(2~)(nxxxYnxxxJnn八、贝塞尔函数的零点在求园盘的温度分布时,是通过分离变量法,转化为求解贝塞尔方程的本征值问题:0)(RJn为了求出上述本征值方程的本征值,必须要计算的零点.有没有实的零点?若存在实的零点,一共有多少个?关于这些问题,有以下几个结论.)(xJn)(xJn（1）有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x轴上关于原点对称分布。自然必有无穷多个正的零点。)(xJn)(xJn（2）的零点与的零点彼此相间分布。)(1xJn)(xJn（3）以表示的非负零点（正的零点）（m=1，2，…),则当时,其值将无限地接近于π,即几乎是以2π为周期的周期函数.)(xJn)(nmmnmnm)()(1)(xJnx1()Jx0()Jx九、贝塞尔函数的正交性在求园盘的温度分布时,是通过分离变量法,转化为求解贝塞尔方程的本征值问题:0)(RJn本征值方程上述本征方程的解为:),2,1()(mRnm即2)()()(Rnmnm本征值与这些本征值相对应的本征函数为:),2,1()()()(mrRJrPnmnm本征函数),2,1()()()(mrRJrPnmnm本征函数),2,1()()(mrRJnmn本征函数系的正交性.rdrRJrRJrnknnmRn)()()()(0.,)(2)(2,0)(212)(212kmJRJRkmnmnnmn1)()(mnmnrRJR,0r在上,带权重正交.若和是两个不同的常数,可以证明2210)()()()()()(nnnnnnJJJJxdxJxJx而)()1()(21)(2222102nnnJnJxdxJx由第一式我们看到,若和是方程0)()(xJxSxJRnn的任意两个不同的根(这里R,S是常数),则0)()(10xdxJxJxnn它表明和在(0,1)是正交的.我们也可以说和是关于权函数正交的.)(xJxn)(xJxn)(xJxn)(xJxnx