高等代数【北大版】2.2

§4n级行列式的性质§8Laplace定理行列式乘法法则§3n级行列式§2排列§1引言§5行列式的计算§7Cramer法则§6行列式按行(列)展开第二章行列式一、排列二、逆序逆序数三、奇排列偶排列四、对换§2.2排列一、排列定义称为一个级排列．n由1，2，…，n组成的一个有序数组123，132，213，231，312，321．如，所有的3级排列是——共6=3！个.n!12(1)nnnnP(阶乘)注：所有不同级排列的总数是n§2.2排列二、逆序逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.定义一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；§2.2排列①排列123称为标准排列，其逆序数为０．n注：②排列的逆序数常记为12().njjj12njjj③后面比小的数的个数121()njjjj1j1nj后面比小的数的个数.1nj2j后面比小的数的个数2j或前面比大的数的个数122()njjjj2j3j前面比大的数的个数3jnj前面比大的数的个数．nj方法一方法二§2.2排列例1．排列31542中，逆序有(31542)531，32，54，52，42的逆序数.例2．求级排列n135(21)(2)(22)42nnn解：135(21)(2)(22)42nnn121n1n方法一12(1)(1)21(1)nnnn1§2.2排列逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．三、奇排列、偶排列定义标准排列123为偶排列．n注：练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性．(1)321nn（1）(2)1(21)2(22)3(1)nnnnn（2）§2.2排列答案:2(1)(1)22nnnnn12(1)(2)21nnn（2）当时为偶排列；4,41nkk当时为奇排列.42,43nkk当为偶数时为偶排列，k当为奇数时为奇排列.k方法一方法二(1)(1)(1)(2)212nnnn§2.2排列四、对换定义把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．§2.2排列证明1)特殊情形：作相邻对换mlbbabaa11对换与abmlbbbaaa11除外，其它元素所成逆序不改变.b,aab对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．定理1设排列为§2.2排列当时，baab所成逆序不变;经对换后的逆序增加1个,经对换后所成逆序不变，的逆序减少1个.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nmlcbcbabaa111当时，ba现来对换与a.b2)一般情形§2.2排列次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换1mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换12m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab§2.2排列所有级排列中，奇、偶排列各半，n!2n均为个.设在全部阶排列中，有个奇排列，个偶排列，下证．nstts将个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，ss同理，将个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，tt推论证明.st.ts故!.2nst§2.2排列一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个任意一个排列与标准排列都可经过123n排列的奇偶性相同．定理2由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,因此知结论成立.证明而标准排列是偶排列（逆序数为0）,§2.2排列思考题如果排列的逆序数为k，则排列121nnxxxx的逆序数是多少？121nnxxxx