简单三角函数的恒等变换.ppt

高考总复习数学（文科）第三章三角函数与解三角形第四节简单三角函数的恒等变换考纲要求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．考纲要求课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接一、将二倍角公式变形可得到的公式课前自修基础回顾1．降幂公式：sin2α＝__________，cos2α＝_________，sinαcosα＝_________．2．升幂公式：1＋cosα＝____________，1－cosα＝____________．3．半角公式：sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝±1＋cosα2，tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝1－cosαsinα＝sinα1＋cosα.注意：等号后的正、负号由α2所在的象限决定．1－cos2α21＋cos2α212sin2α2cos2α22sin2α2考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接二、辅助角公式课前自修asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin()x＋φ，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2，即tanφ＝ba.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修基础自测1．已知cosx－π6＝－33，则cosx＋cos(x－π3)＝()A．－233B．±233C．－1D．±1C解析：∵cosx－π6＝－33，∴32cosx＋12sinx＝－33，∴cosx＋cosx－π3＝32cosx＋32sinx＝3(32cosx＋12sinx)＝3×－33＝－1.故选C.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接2．化简sin2αcosα－sinαcos2α等于()A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosαC解析：f(sin2αcosα－sinα,cos2α)＝f(2sinαcos2α－sinα,cos2α)＝f(sinα（2cos2α－1）,cos2α)＝f(sinαcos2α,cos2α)＝sinα.课前自修3．(2013·无锡联考)已知锐角α满足cos2α＝cosπ4－α，则sin2α等于________．12解析：由cos2α＝cosπ4－α得(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝22(cosα＋sinα)，由α为锐角知cosα＋sinα≠0.∴cosα－sinα＝22，平方得1－sin2α＝12.∴sin2α＝12.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接4.(2013·江西师大附中三模)已知sin()3π－θ＝－2sinπ2＋θ，则tan2θ＝__________．f(4,3)解析：由sin（3π－θ）＝－2sin(f(π,2)＋θ)得tanθ＝－2，所以tan2θ＝f(2tanθ,1－tan2θ)＝f(4,3).考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点1三角函数的化简求值考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接【例1】(1)(2013·重庆卷)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1(2)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2α·cos2β＝________．考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接点评：1.三角函数式的化简遵循的三个原则：(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．2．三角函数式化简的方法．弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接3．三次函数式化简的要求：(1)能求出值的应求出值．(2)尽量使函数种数最少．(3)尽量使项数最少．(4)尽量使分母不含三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．4．解决给角求值问题的基本思路．对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接特别提醒：在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．解析：（1）先切化弦，然后通分化简求解即可.4cos50°－tan40°＝4cos50°－f(sin40°,cos40°)＝f(4cos50°cos40°－sin40°,cos40°)＝f(4sin40°cos40°－sin40°,cos40°)＝f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝f(2cos10°－sin（10°＋30°）,cos40°)＝f(2cos10°－f(r(3),2)sin10°－f(1,2)cos10°,cos40°)＝f(f(3,2)cos10°－f(r(3),2)sin10°,cos40°)考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接＝f(r(3)(f(r(3),2)cos10°－f(1,2)sin10°),cos40°)＝f(r(3)cos40°,cos40°)＝r(3).（2）方法一（从“角”入手，复角→单角）原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－f(1,2)·（2cos2α－1）·（2cos2β－1）＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－f(1,2)（4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1）＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－f(1,2)＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－f(1,2)考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接＝sin2β＋cos2β－f(1,2)＝1－f(1,2)＝f(1,2).方法二（从“名”入手，异名化同名）原式＝sin2α·sin2β＋（1－sin2α）·cos2β－f(1,2)cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α（cos2β－sin2β）－f(1,2)cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α·cos2β－f(1,2)cos2α·cos2β＝cos2β－cos2β·(sin2α＋f(1,2)cos2α)＝f(1＋cos2β,2)－cos2β·(sin2α＋f(1,2)（1－2sin2α）＝f(1＋cos2β,2)－f(1,2)cos2β＝f(1,2).考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接方法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式＝f(1－cos2α,2)·f(1－cos2β,2)＋f(1＋cos2α,2)·f(1＋cos2β,2)－f(1,2)cos2α·cos2β＝f(1,4)（1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β）＋f(1,4)（1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β）－f(1,2)·cos2α·cos2β＝f(1,2).方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式＝（sinα·sinβ－cosα·cosβ）2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ－f(1,2)cos2α·cos2β考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接＝cos2（α＋β）＋f(1,2)sin2α·sin2β－f(1,2)cos2α·cos2β＝cos2（α＋β）－f(1,2)·cos（2α＋2β）＝cos2（α＋β）－f(1,2)·[2cos2（α＋β）－1]＝f(1,2)答案：（1）C（2）f(1,2)考点探究变式探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接1．化简：2cos55°－3sin5°cos5°＝()A.32B．1C．2D.3B解析：因为f(2cos55°－sin5°,cos5°)＝f(2cos（60°－5°）－sin5°,cos5°)＝f(2cos60°cos5°＋2sin60°sin5°－r(3)sin5°,cos5°)＝f(cos5°＋r(3)sin5°－sin5°,cos5°)＝1.故选B.考点2三角函数的条件求值考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接【例2】(1)(2013·浙江卷)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43B.34C．－34D．－43(2)(2013·广东卷)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.①求f－π6的值；②若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接思路点拨：(1)由已知条件和sin2α＋cos2α＝1联立方程组可求得sinα与cosα的值，从而求得tanα，再利用倍角公式求tan2α.(2)本题考查利用三角函数诱导公式求值和三角恒等变换，特别要注意两角和公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ及二倍角公式的应用．自主解答：考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接点评：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊的三角函数转化为特殊角的三角函数．(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接（1）解析：由(sinα＋2cosα＝f(r(10),2)，sin2α＋cos2α＝1解得(sinα＝－f(r(10),10)，cosα＝f(3r(10),10)或(sinα＝f(3r(10),10)，cosα＝f(r(10),10)，)所以tanα＝－f(1,3)或tanα＝3，当tanα＝－f(1,3)时，tan2α＝f(2tanα,1－tan2α)＝f(－f(2,3),1－(－f(1,3)＝－f(3,4)；考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接当tanα＝3时，tan2α＝f(2tanα,1－tan2α)＝f(6,1－32)＝－f(3,4).故选C.答案：C（2）解析：①f(－f(π,6)＝cos(－f(π,6)－f(π,12)＝cos(－f(π,4)＝cosf(π,4)＝1；②f(2θ＋f(π,3)＝cos(2θ＋f(π,3)－f(π,12)＝cos(2θ＋f(π,4)＝cos2θ－sin2θ，若cosθ＝f(3,5)，θ∈(f(3π,2)，2π)，则sinθ＝－f(4,5)，cos2θ＝2cos2θ－1＝－f(7,25)，sin2θ＝2sinθcosθ＝－f(24,25)，所以f(2θ＋f(π,3)＝cos2θ－sin2θ＝f(17,25).考点探究变式探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接2．设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________．－f(5)考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接分析：利用两角和的正切公式将tan(θ＋f(π,4)展开化简，通过切化弦，得到目标sinθ＋cosθ，然后利用三角函数的性质，求得sinθ＋cosθ的值.解析：因为θ为第二象限角，tan(θ＋f(π,4)＝f(1,2)＞0，所以角θ的终边落在直线y＝－x的左侧，sinθ＋cosθ＜0，由tan(θ＋f(π,4)＝f(1,2)，得f(tanθ＋1,1－tanθ)＝f(1,2)，即f(sinθ＋cosθ,cosθ－sinθ)＝f(1,2)，所以设sinθ＋cosθ＝x，则cosθ－sinθ＝2x，将这两个式子平方相加得x2＝f(2,5)，即sinθ＋cosθ＝